Метод итераций

Для того чтобы использовать метод итераций, уравнение необходимо привести к виду . Такое преобразование всегда можно выполнить, например, следующим способом: , где C – некоторая константа. При заданном начальном приближении корня все последующие приближения вычисляются по формуле .

Достаточное условие сходимости метода итераций дается следующей теоремой: Если при определена, дифференцируема и и при этом , то для любого начального приближения процесс итераций сходится, и предел последовательности является единственным корнем уравнения на отрезке .

Если функция получена так, как описано выше, то производная , где производная функции на сохраняет знак (в силу того, что выполнено отделение корней) и ограничена: . Если, например, производная положительна, то и можно принять . При этом условие, накладываемое на , выполняется с . Таким образом, во многих случаях удается привести исходное уравнение к виду, пригодному для использования метода итераций. Если все же оказывается, что в окрестности корня , то уравнение можно заменить эквивалентным , где – обратная функция. По свойству производной обратной функции для этого уравнения условие сходимости метода итераций выполняется с .

Можно строго показать, что чем меньше (ближе к нулю) q, тем быстрее сходится метод итераций. При этом характер сходимости зависит от знака производной . Если в окрестности корня , то последовательность сходится к корню монотонно, а если , то последовательные приближения колеблются около корня.

Дата добавления: 2015-07-07