Метод Ньютона. Под производной понимается матрица Якоби (якобиан) системы функций fi относительно

Под производной понимается матрица Якоби (якобиан) системы функций f_i относительно переменных x_j (i,j =1,…, n): .

Рассуждая таким же образом, как и в случае одного уравнения, получаем, что для X близкого к X ^* и отсюда вытекает рабочая формула метода Ньютона: .

Теорема о локальной сходимости метода Ньютона: Пусть в окрестности корня X ^* уравнения функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядков, причем матрица Якоби не вырождена, а вторые частные производные ограничены по модулю. Тогда порождаемая методом Ньютона последовательность приближений, начинающаяся с лежащего в этой окрестности начального приближения, сходится, причем квадратично, к точному корню уравнения.

Вычислительные проблемы, связанные с применением метода Ньютона, обусловлены, во-первых, сложностью или даже невозможностью аналитического вычисления якобиана и, во-вторых, его вырожденностью или плохой обусловленностью.

Достоинства: высокая скорость сходимости, причем для линейных компонент функции F метод сходится за одну итерацию.

Недостатки: отсутствие глобальной сходимости; необходимость на каждой итерации вычислять и обращать якобиан.

Дата добавления: 2015-07-07