Экзаменационная программа

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ИПЭЭФ(ФП–1¸6,8), 2 семестр, 2012/2013 уч. год

Лектор: проф. Сафонов В.Ф.

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА

1. Функции нескольких переменных. Предел, непрерывность. Линии уровня и поверхности уровня. Частные производные функции нескольких переменных и их геометрический смысл (в случае функции двух переменных).

2. Дифференцируемость функции двух переменных. Необходимые условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости (без доказательства).

3. Дифференцирование сложной функции. Неявная функция. Теорема существования и дифференцируемости неявной функции (без доказательства). Вычисление производных неявной функции.

4. Скалярное поле. Примеры. Градиент скалярного поля, производная по направлению и ее связь с градиентом. Свойства градиента скалярного поля. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

5. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных (без доказательства). Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

6. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции нескольких переменных на замкнутом ограниченном множестве. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

7. Кратные (двойные и тройные) интегралы. Определение, свойства, сведение к повторным интегралам (без доказательства). Перемена порядка интегрирования. Вычисление площадей и объемов.

8. Замена переменных в двойных и тройных интегралах (без доказательства). Якобиан и его геометрический смысл. Двойной интеграл в полярных координатах. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

9. Площадь поверхности и ее вычисление. Поверхностный интеграл первого рода, его свойства и вычисление.

10. Векторное поле, векторные линии. Поток векторного поля через поверхность, его физический смысл. Свойства потока векторного поля, вычисление потока через часть поверхности.

11. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл, свойства.

12. Работа и циркуляция векторного поля. Свойства и вычисление. Формула Стокса. Формула Грина. Ротор векторного поля, его физический смысл и свойства.

13. Соленоидальное поле. Векторные трубки. Условие соленоидальности поля. Потенциальное поле. Условия потенциальности поля. Примеры.

14. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности, его свойства. Арифметические действия с последовательностями, имеющими предел. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности.

15. Числовой ряд. Сумма и сходимость ряда. Остаток ряда. Арифметические операции с рядами. Необходимый признак сходимости. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения.

16. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки Даламбера, Коши; интегральный признак Коши.

17. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница. Оценка остатка условно сходящегося ряда. Действия с абсолютно сходящимися рядами.

18. Функциональный ряд. Поточечная и равномерная сходимость. Область сходимости. Признак Вейерштрасса.

19. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы, интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенного ряда (без доказательства).

20. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора. Теорема о разложении в ряд Тейлора.

21. Единственность разложения в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. Применение степенных рядов.

22. Тригонометрическая система функций. Тригонометрический ряд Фурье, условия его сходимости и свойства суммы.

23. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций, их свойства. Ряды Фурье по косинусам и синусам, условия их сходимости и свойства суммы.

Дата добавления: 2015-07-10