Необходимый признак сходимости

Если ряд сходится, то его общий член u_{n ­} стремится к нулю при n → ∞, т.е. .

Указанный признак не является достаточным, т.е. если u_n → 0, то о сходимости ряда ничего сказать нельзя.

Достаточные признаки

Признак сравнения

Если даны два ряда

и с положительными членами, причем члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда: 0 ≤ u_n ≤ v_n, то

а) из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда;

б) из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Для сравнения часто используются ряды:

Ряд геометрической прогрессии:

Обобщенно-гармонический ряд:

Предельный признак сравнения

Если даны два ряда

и с положительными членами и существует конечный предел , то рассматриваемые ряды одновременно сходятся или расходятся.

Признак Даламбера

Если ряд с положительными членами таков, что существует предел

, то

Радикальный признак Коши

Если ряд с положительными членами таков, что существует предел

, то

Интегральный признак Коши

Если функция f(x) непрерывная, положительная и невозрастающая для x ≥ a и, начиная с некоторого n= N,

u_n = f(n), то ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Признак Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

Ряд u₁ – u₂ + u₃ - … + (-1) ⁿ⁺¹ u_n + …, где все u_n > 0, называется знакочередующимися.

Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям

u₁ > u₂ > u₃ > … > u_n, и , то такой ряд сходится.

Если ряд сходится, а ряд расходится, то такой ряд называют условно сходящимся.

Если ряд сходится, то сходится и ряд , который в этом случае называют абсолютно сходящимся.

Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида

,

где a_n – числа, коэффициенты степенного ряда.

При х ₀ = 0 степенной ряд имеет вид:

.

Значения х, при которых степенной ряд является сходящимся числовым рядом, образуют область сходимости ряда.

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из теоремы:

Если степенной ряд сходится при х = х₀ ≠ 0, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x| < |x₀ |.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, его находят по формуле: .

Пример выполнения задания 1

Исследуем на сходимость числовые ряды.

а) .

Общий член ряда и . Сравним данный ряд с гармоническим рядом являющимся расходящимся. Так как , то исходный ряд по признаку сравнения расходится.

б) +….

Общий член ряда и его предел

.

Применим правило Лопиталя: .

Необходимый признак сходимости выполняется.

Воспользуемся признаком Даламбера:

; ,

.

Следовательно, ряд сходится.

в) .

Это знакочередующийся ряд с общим членом .

Воспользуемся признаком Лейбница:

и .

Следовательно, ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

.

Это гармонический ряд. Он расходится. Значит, данный ряд сходится условно.

Пример выполнения задания 2

Определить радиус и область сходимости степенного ряда

.

Решение.

Обозначим х + 1 = Х и рассмотрим ряд

. Определим его радиус сходимости

, ,

.

, значит, для всех |Х| < 2 ряд сходится.

Решением неравенства является интервал (-2,2).

Рассмотрим поведение ряда на концах полученного интервала

При Х = -2 имеем

- ряд знакочередующийся.

и Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится.

При Х = 2 имеем:

.

Сравним его с обобщенно-гармоническим рядом .

Он является сходящимся.

Так как , то данный ряд сходится.

Степенной ряд сходится на обоих концах интервала сходимости.

-2 ≤ Х ≤ 2,

-2 ≤ x + 1 ≤ 2,

-3 ≤ x ≤ 1.

Таким образом, областью сходимости данного ряда является интервал вида х [-3;1].

Сведения из теории

Ряды Фурье

Пусть f(x) – какая-нибудь функция с периодом 2π. Рядом Фурье функции f(x) называется тригонометрический ряд

, коэффициенты которого определяются по формулам Фурье:

; , n = 1,2,3,…;

, n = 1,2,3,….

Из этого определения не следует, что f(x) всегда разлагается в свой ряд Фурье.

Функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке

[-π; π], если:

1) она имеет конечное число экстремумов на [-π; π];

2) она на этом отрезке непрерывна, за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода;

3) существуют конечные предельные значения функции

f(-π + 0) и f(π - 0).

Теорема Дирихле: если функция f(x) на отрезке [-π; π] удовлетворяет условиям Дирихле, то ряд Фурье функции f(x) сходится для всех х, а его сумма равна значению f(x) в каждой точке непрерывности этой функции, и равна числу в каждой точке разрыва.

Если функция f(x) задана на отрезке [ -l;l ], где l – произвольное число, причём f(x + 2l) = f(x), и она удовлетворяет условиям Дирихле, то функция может быть разложена в ряд Фурье:

, где

; , n = 1,2,3,…;

, n = 1,2,3,….

Если функция f(x) чётная, т.е. f(-x) = f(x), то ,

;

; .

Если функция f(x) нечётная, т.е. f(-x) = -f(x), то ,

;

.

Пример выполнения задания 3

Разложим в ряд Фурье функцию f(x) периода 2 π, заданную на отрезке [- π; π ] формулой

Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит, её можно разложить в ряд Фурье. Находим коэффициенты ряда:

;

,

интегрируя по частям, получим:

= .

Аналогично находим

Исходной функции f(x) соответствует ряд Фурье

f(x)= .

Дата добавления: 2015-11-04