Реакция цепи на входной сигнал

Для того чтобы посчитать реакцию цепи на вышеуказанный входной сигнал нужно посчитать переходную характеристику цепи.

Вычислим переходную характеристику цепи (реакция на единичный импульсный сигнал):

U₂(0_-) =0 B.

U₂(0₊) =0,33 B.

U₂(_ПР) = В

Общая формула для нахождения переходной характеристики цепи

g_u(t) = U₂(_ПР) + (U₂(0₊) - U₂(_ПР))*e^pt=0.5-0.17e^pt

Для нахождения р запишем характеристическое уравнение:

Z(p) =

Приравняем к нулю и получим:

3R²pC+2R=0

3RpC+2=0, следовательно, p= =-667 c^-1

Получим переходную характеристику

g_u(t)= U₂(_ПР)+ (U₂(0₊)- U₂(_ПР))*e^pt=0.5-0.17e^-667t

1.2. Для того чтобы вычислить значения U₂(t) с помощью программы DML, посчитаем скачки напряжений и производные поведения сигнала.

Найдем скачки напряжений на входном сигнале в моменты времени t=0 мс, t₁₌2 мс, t₂= 4 мс:

U₂(0)=0 В

U₂(t₁)=-10 В

U₂(_t2)=5 В

Найдем производные поведения сигнала на участках

U’₀₁(t), U’₁₂(t) и U’₂₃(t):

U’₀₁(t)=2500 B/c

U’₁₂(t)=0 B/c

U’₂₃(t)=0 B/c

1.3. Запишем интеграл Дюамеля для участков цепи:

0 ≤ t ≤ t₁

U₂(t)= U₂(0)g_u(t)+ =

t₁ ≤ t ≤ t₂

U₂(t)= U₂(0)g_u(t)+ + U₂(t₁)g_u(t-t₁)+ =

t ≥ t₂

U₂(t)= U₂(0)g_u(t)+ + U₂(t₁)g_u(t-t₁)+ + U₂(t₂)g_u(t-t₂ )+ + =

Реакция цепи на входной сигнал.

Подставляя полученные данные в программу DML, получаем следующие значения U₂(t):

t, мс		0,3	0,6		1,3	1,6	t1-	t1+	2.3	2.6		3.3	3.6	t2-	t2+
U2, В		0.29	0.6	0.95	1.27	1.63		-1.3	-1.5	-1.7	-1.9	-2	-2.1	-2.2	-0.5

Реакция цепи на входной сигнал

представлена в виде:

2. Импульсная характеристика цепи

Общая формула для нахождения импульсной характеристики цепи:

=0.333*δ(t)+(0,5-0,17e^-667t)’=0.333-0.17*(-667)*

*e^-667t=0.33δ(t)+113.36e^-667t

3. Передаточная функция цепи.

а) Рассчитаем H(jω) схеме

Заменим р→jω

H(jω)=

б)Рассчитаем H(jω) с помощью прямого одностороннего преобразования Фурье:

H(jω)=

=

Результаты H(jω) в пункте а) и б) совпадают друг с другом, следовательно, передаточная функция и переходная характеристики цепи рассчитаны правильно

С помощью переходной характеристики цепи найдем АЧХ и ФЧХ цепи:

а). АЧХ имеет вид:

H(ω)=

б). ФЧХ имеет вид:

φ(ω)=arctg(ωRC) – arctg

С помощью программы FREAN рассчитаем значения H(ω) и φ(ω) и построим их графики

F,кГц	H	φ		F,кГц	H	φ
		90.046		0.331	6.063
0.1	0.229	46.734	1.1	0.332	5.515
0.2	0.294	27.973	1.2	0.332	5.058
0.3	0.314	19.497	1.3	0.332	4.671
0.4	0.322	14.871	1.4	0.332	4.338
0.5	0.326	11.993	1.5	0.333	4.05
0.6	0.328	10.039	1.6	0.333	3.798
0.7	0.33	8.628	1.7	0.333	3.575
0.8	0.33	7.563	1.8	0.333	3.77
0.9	0.331	6.73	1.9	0.333	3.2

Графики АЧХ

График ФЧХ

4. Спектральная плотность входного сигнала.

Для нахождения спектральной плотности входного сигнала функция U₁(t) представляется в виде суммы четырех простейших функций:

Находим изображение входного сигнала:

F₁(P)=

F₂(P)= *e^-0.002p

F₃(P)= *e^-0.002p

F₄(P)= *e^-0.004p

Изображение входного сигнала записывается как сумма изображений “простейших” функций:

F(P)= F₁(P)+ F₂(P)+ F₃(P)+ F₄(P)

F(P)= + *e^-0.002p+ *e^-0.002p+ *e^-0.004p

Заменяя р→jω получаем спектральную плотность входного сигнала:

U₁(jω)= + *e^{-0.002 jω} *e^-0.002jω+ *e^-0.004jω = =

+

+

=

+j

Теперь получим формулу для амплитудной характеристики спектральной плотности входного сигнала

U₁(ω)=

Формула для фазовой характеристики сигнала

Φ₁(ω)=arctg

Вычислив значения плотности входного сигнала, получили следующую таблицу:

F,кГц	U1,мВ	Φ1,градус		F,кГц	U1,мВ	Φ1,градус
				0,79
0.1		318,7	1.1	1,34	312,52
0.2	10,3	56,82	1.2	1,86	43,852
0.3	8,4	145,65	1.3	1,8	139,16
0.4	4,3	227,9	1.4	1,15
0.5	1,5		1.5	0,53
0.6	2,4	312,99	1.6	0,93	312,22
0.7	3,1	45,702	1.7	1,32	42,945
0.8	2,96	140,59	1.8	1,29	138,38
0.9	1,8	227,32	1.9	0,839	226,77

График амплитудной характеристики спектральной плотности входного сигнала:

График фазовой характеристики входного сигнала:

5. Спектральная плотность выходного сигнала

Запишем формулу для амплитудной характеристики спектральной плотности выходного сигнала

U₂(ω)=U₁(ω)*H(ω), получаем:

U₂(ω)=

*

Запишем формулу для фазовой характеристики выходного сигнала

φ ₂(ω)= φ₁(ω)* φ(ω), получаем:

Φ₂(ω)=arctg *

* arctg(ωRC) – arctg

Полученные значения:

F,кГц	U2,мВ	Φ2,градус		F,кГц	U2,мВ	Φ2,градус
		270.05		0.264	276.06
0.1	1.849	365.42	1.1	0.444	318.03
0.2	3.021	84.798	1.2	0.618	48.911
0.3	2.628	165.15	1.3	0.597	143.83
0.4	1.395	242.77	1.4	0.384	231.34
0.5	0.519	281.99	1.5	0.177	316.05
0.6	0.776	323.03	1.6	0.31	316.02
0.7	1.037	54.33	1.7	0.44	46.52
0.8	0.977	148.16	1.8	0.429	191.75
0.9	0.6	234.05	1.9	0.279	229.94

График амплитудной характеристики спектральной плотности выходного сигнала:

График фазовой характеристики выходного сигнала:

6. Дискретизация входного сигнала и импульсной характеристики цепи.

Дискретизировать входной сигнал:

U_{1 max} (f)=10.3 мВ/с

U_{1 min} (f)=0,1* U_{1 max} =1,03 мВ/с, данное значение плотность принимает на частоте f_B=1.65≈2 кГц (эта частота принимается за верхнюю границу спектра входного сигнала).Но для точности расчетов возьмем f_B = 2,5 кГц, следовательно

Составляем аналитическое выражение для отсчетов входного сигнала

U₁(t)=

После подстановки в него вместо t последовательности моментов дискретизации вычисляем значения дискретных отсчетов входного сигнала U₁(n)

Аналогичным образом вычисляются значения дискретных отсчетов импульсной характеристики цепи H(n) на интервале времени 0 ≤ t ≤ t₂:

H(nT)=g(0)*δ(t)+g’(nT)= 0.33δ(nT)+113.36*T*e^-667nT=

= 0.33δ(nT)+0.0227e^{-0.1334* n}

Дискретные значения сигнала на выходе цепи вычисляются для первых 8-10 отсчетов с помощью формулы дискретной свертки

U₂(m)=

Рассчитав значения U₁(n),H(n) и U₂(n) запишем их в таблицу.

t, мс		0.2	0.4	0.6	0.8		1.2	1.4	1.6	1.8
N
U1(n)		0.5		1.5		2.5		3.5		4.5
H1(n)	0.35	0.02	0.017	0.015	0.013	0.012	0.01	0.009	0.008	0.007	0.006
U2(n)		0.1750	0.36	0.57	0.75	1.022	1.175	1.394	1.617	1.844

t, мс	2.2	2.4	2.6	2.8		3.2	3.4	3.6	3.8
N
U1(n)	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-5	-2.5
H1(n)	0.005	4.5 *10^-3	*10^-3	3.5 *10^-3	*10^-3	2.7 *10^-3	2.3 *10^-3	*10^-3	1.8 *10^-3	1.6 *10^-3

7. Спектральные характеристики дискретизированного сигнала

Вычислим значения спектральных характеристик дискретизированного сигнала на частотах f=0,625,1250,2500 кГц

Для этого воспользуемся формулой:

f=0 ω=0

U₁(0)=T* =5 мВ/с

f₁=625 ω₁=

U₁(ω₁)=T* ()=T*

=2,627 мВ/с

f₂=1250 ω₂=

U₁(ω₂)=T* ()=T*

=1,912 мВ/с

f₃=2500 ω₃=

U₁(ω₃)=T* ()=T*

=0,319 мВ/с

Сравнивая полученные результаты с результатами расчета плотности входного сигнала, полученными в пункте 4. делаем вывод, что проведённые расчеты выполнены правильно.

8. Z – преобразование импульсной характеристики цепи

Z преобразование импульсной характеристики

цепи записывается в виде:

H(Z)=0.33+

Учитывая, что Z-преобразование входного и выходного дискретных сигналов связаны между собой соотношением Y(Z)=X(Z)*H(Z), можем записать:

Y(Z)=X(Z)*(0.33+ )

Y(Z)*(1-е^-0.1334*z^-1)=X(Z)*

Y(Z)= X(Z)*0,3527-X(Z)*0.289Z^-1+Y(Z)*0.875Z^-1

a ₀=0,3527

b₁=0.0.875

a ₁=0,289

Схема дискретной цепи реализующей это соотношение имеет вид:

Z^-1 – Z-преобразование блока памяти с задержкой на один период дискретизации.

После приведения схемы к каноническому виду она примет вид:

Коэффициенты передачи масштабных усилителей а₀,a₁ и b₁ те же, что и в предыдущей схеме.

T – элемент памяти с задержкой на один период дискретизации.

9. АЧХ дискретной цепи.

H(Z)=0.33+ = =

=

Для получения частотных характеристик, достаточно в системной функции H(Z) заменить Zⁿ → e^jωnT:

H(jω)= = =

= =

АЧХ дискретной цепи имеет вид:

H(ω)=

ω = 0 имеем:

H(ω)=

ω = ω_д/4 имеем:

H(ω)=

ω = ω_д/2 имеем:

H(ω)=

ω = 3ω_д/4 имеем:

H(ω)=

ω = ω_д имеем:

H(ω)=

График АЧХ дискретной цепи имеет вид:

ФЧХ дискретной цепи имеет вид:

Φ(ω)=arctg -arctg

10. H-корректора

Составим схему корректирующую выходной сигнал, т.е. чтобы,подсоединяя её каскадно к первоначальной цепи, на выходе получать первоначальный входной сигнал.

H_корр(р)=k*

H(p)= =2+ =1+

Составим схему на операционном усилителе и определим элементы

H_оу(р)=1+ =1+ =1+

R=1000 Ом =1 кОм

С= 10^-6 Ф =1 мкФ

Дата добавления: 2015-11-03