Распределение часов курса по темам и видам работ

№	Наименование разделов	Аудиторные занятия, ч	Самост. работа, ч	Общее кол-во часов
Лекции	Практич. занятия	Всего
1.	Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
2.	Математический анализ
3.	Экономико-математические модели и методы
4.	Теория вероятностей и математическая статистика
	ИТОГО

Содержание курса

Раздел I. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии

Цели и задачи раздела: систематизация знаний студентов по элементарной математике; формирование основных понятий современной и линейной алгебры, аналитической геометрии; подготовка к изучению следующих разделов курса; установление внутрипредметных связей.

Тема 1. Матрицы и действия с ними.

Понятие матрицы: обозначения матриц и способы записи, размерность матрицы; квадратные, диагональные, единичные и нулевые матрицы; вектор-строка, вектор-столбец; операция транспонирования матриц. Операции с матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц) и свойства этих операций (коммутативность сложения матриц, ассоциативность сложения, ассоциативность умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения, роль единичной матрицы), матричные уравнения.

Тема 2. Определители квадратных матриц.

Определители квадратных матриц: миноры, дополнительные миноры, алгебраические дополнения; принцип Лапласа (разложения определителя по строке, по столбцу). Свойства определителя (кососимметричность, полилинейность и т.д.) и их доказательство, вычисление определителя матрицы путем применения его свойств. Понятия обратимой и обратной матриц, единственность обратной матрицы. Условие невырожденности матрицы. Понятие присоединенной матрицы. Обращение квадратных матриц с помощью определителя.

Тема 3. Системы линейных уравнений.

Системы линейных уравнений: основные понятия (линейное уравнение и его решение, система линейных уравнений и ее решение, матрица и расширенная матрица системы); cпособы записи систем линейных уравнений – развернутая, векторная, матричная; классификация систем линейных уравнений по числу решений – совместные и несовместные, совместные определенные и совместные неопределенные системы. Метод Крамера решения систем n линейных уравнений c n неизвестными (доказательство теоремы для случая системы двух уравнений с двумя неизвестными). Метод обратной матрицы решения систем n линейных уравнений c n неизвестными. Матрицы в экономических приложениях: задача межотраслевого баланса. Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений: эквивалентные системы и равносильные преобразования систем (перемена уравнений местами, добавление или исключение уравнения вида , умножение уравнения на ненулевое число, почленное сложение уравнений), реализация прямого и обратного хода метода Гаусса в случае определенной системы. Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений: случай неопределенной системы: поиск свободных и базисных переменных. Статистическая модель межотраслевого баланса.

Тема 4. Линейные пространства.

Системы векторов, арифметическое конечномерное пространство, линейная зависимость и линейная независимость, ранг системы векторов и ранг матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Линейные пространства и линейные операторы: определения и примеры. Однородные системы линейных уравнений: фундаментальная система пространства решений. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений – связь множеств их решений. Собственные значения (числа) и собственные векторы матрицы. Евклидово пространство: определение и примеры. Квадратичные формы.

Тема 5. Комплексные числа.

Определение комплексного числа, формы записи (нормальная, алгебраическая, тригонометрическая); геометрическая интерпретация комплексного числа как вектора и как точки координатной плоскости; операции с комплексными числами (сложение, умножение на вещественное число, умножение) и свойства этих операций; теорема Муавра и ее обобщение.

Тема 6. Аналитическая геометрия на прямой и плоскости.

Декартова система координат на прямой и на плоскости, полярная система координат, сущность метода аналитической геометрии, уравнение фигуры. Полярная система координат. Векторы на плоскости. Уравнения прямой (общее, с угловым коэффициентом, в отрезках), взаимное расположение прямых (условия параллельности, перпендикулярности прямых), расстояние между точками, прямыми, точкой и прямой; углы между прямыми. Кривые второго порядка (эллипс и его эксцентриситет, парабола и ее директриса, гипербола) – их уравнения и свойства.

Тема 7. Аналитическая геометрия в трехмерном пространстве: уравнения прямой, плоскости, взаимные расположения и расстояния. Поверхности второго порядка (эллипсоид, параболоид, гиперболоид). Выпуклые множества и их свойства.

Методы: лекции, письменные и устные домашние задания, консультации преподавателя, самостоятельная работа студентов, включающая освоение теоретического материала и выполнение письменных работ.

Вопросы для самопроверки:

· Всякие ли две матрицы можно сложить?

· Всякие ли две матрицы можно перемножить?

· Какими свойствами обладают операции над матрицами?

· Что называется лапласовской суммой строки матрицы?

· Что назыввается решением системы линейных уравнений?

· Какие методы применяются для решения систем линейных уравнений? В чем они состоят?

· Каков критерий обратимости матрицы?

· Какова экономическая интерпретация действий с матрицами?

· Что характеризует уравнение Леонтьева?

· Как системы линейных уравнений используются для поиска точки рыночного равновесия?

· Что называется фундаментальной системой решений однородной системы уравнений?

· Как определяется размерность линейного пространства?

· Всякое ли отображение линейного пространства является линейным?

· В чем сущность метода координат?

· Каков геометрический смысл уравнений и неравенств?

· Какие операции выполняются над векторами плоскости?

· Какие операции выполняются над векторами пространства?

· Что называется кривой второго порядка?

· Перечислите основные поверхности второго порядка.

Раздел 2. Математический анализ

Цели и задачи изучения раздела: систематизация знаний студентов по функциональной линии; расширение формирование понятия предела числовой последовательности и функции; ознакомление студентов с основной идеей дифференциального исчисления; установление взаимосвязи понятий производной и неопределенного интеграла; расширение понятия функции; систематизация знаний по функциональной линии курса математики; демонстрация возможностей математики в описании и исследовании экономических и социальных процессов.

Тема 8. Элементы теории множеств.

Понятие множества, конечные и бесконечные множества, способы задания множеств (с помощью характеристического свойства, описанием), понятие универсального множества, понятие пустого множества; операции над множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение, прямое произведение множеств), свойства операций над множествами (коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и т.д.), диаграммы Эйлера-Венна; основные числовые множества. Понятие окрестности точки на вещественной прямой.

Тема 9. Элементарные функции.

Понятие функциональной зависимости, понятие графика функции одной переменной, способы задания функций (аналитический, графический, табличный); основные свойства функции (область определения, область значений, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, периодичность, четность-нечетность, точки экстремумов). Понятие суперпозиции функций, понятие обратной функции: свойство графиков взаимно обратных функций. Основные элементарные функции, их свойства и графики (линейная, дробно-линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратно тригонометрические функции. Функции спроса и предложения, точка равновесия, задача о максимизации прибыли. Понятие математики финансов: задача дисконтирования.

Тема 10. Числовые последовательности.

Понятие предела числовой последовательности: понятие последовательности, способы задания, график последовательности, свойства последовательностей (монотонность, ограниченность), арифметическая и геометрическая прогрессии. Понятие предела последовательности на языке окрестностей: конечный и бесконечный пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, эквивалентные последовательности; свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. Основные свойства конечных пределов (предел суммы, разности, произведения, частного). Основные неопределенности и способы их раскрытия.

Тема 11. Предел функции.

Понятие предела функции в точке и на бесконечности на языке окрестностей: графическая интерпретация. Распространение теории пределов последовательностей на функции.

Тема 12. Непрерывность функции.

Непрерывность функции в точке: определение непрерывности на языке пределов, окрестностей, приращений. Простейшие свойства непрерывных функций. Использование непрерывности функции в точке для вычисления пределов. Точки разрыва функции, их классификация. Непрерывность функции на промежутке: свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке (теоремы Больцано - Коши, Вейерштрасса). Экономическая интерпретация непрерывности.

Тема 13. Производная и дифференциал.

Задачи, приводящие к понятию производной, определение производной; геометрический смысл производной, уравнение касательной к графику функции, классификация положений касательных; понятие дифференцируемой функции. Дифференцирование результатов арифметических действий (производная суммы, произведения константы и функции, произведения функций, частного функций). Дифференцирование сложной функции, дифференцирование обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций, логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференцирование функций, заданных неявно. Производные высших порядков. Понятие дифференциала функции одной переменной, его геометрический смысл, использование в приближенных вычислениях. Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Тема 14. Изучение поведения функции при помощи производной.

Критерий постоянства дифференцируемой функции, критерий монотонности дифференцируемой функции, локальный экстремум, определение промежутков выпуклости графика функции, точки перегиба; схема исследования свойств функции и построения ее графика. Определение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке (экстремальные задачи). Предельный анализ в экономике. Эластичность экономических функций.

Тема 15. Неопределенный интеграл.

Определение неопределенного интеграла, основные свойства неопределенного интеграла. Способы интегрирования: табличное интегрирование, замена переменной интегрирования, интегрирование по частям. Основные классы интегрируемых функций: интегрирование тригонометрических выражений, дробно-рациональных, иррациональных функций.

Тема 16. Определенный интеграл.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, определение интеграла как предела интегральных сумм; геометрическая интерпретация определенного интеграла; формула Ньютона-Лейбница, свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами и неравенствами; способы вычисления определенного интеграла (замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям в определенном интеграле). Приложения определенного интеграла: механические, геометрические, экономические иллюстрации.

Тема 17. Несобственные интегралы.

Определение несобственного интеграла, классификация несобственных интегралов, способ исследования несобственных интегралов на сходимость.

Тема 18. Понятие функции нескольких переменных.

Точечные множества в многомерном пространстве, функциональная зависимость в случае многих переменных, способы задания функций, основные свойства, понятие графика и методы построения графика функции в случае двух переменных (метод сечений, метод линий уровня). Некоторые многомерные функции, используемые в экономике: функции выпуска продукции, производственные функции затрат ресурсов, общие модели развития экономики.

Тема 19. Дифференциальное исчисление функции двух переменных.

Понятие частных производных и их геометрический и экономический смысл; правила дифференцирования. Частные и полный дифференциал и их геометрический смысл. Производные, полные и частные дифференциалы высших порядков. Производная по направлению. Градиент функции двух переменных. Дифференциальные свойства функции полезности. Кривые безразличия. Коэффициент эластичности, эластичность по капиталу и по труду.

Тема 20. Классические методы оптимизации.

Экстремумы функции нескольких переменных (необходимые и достаточные условия точки экстремума); условная оптимизация (метод подстановки, метод множителей Лагранжа).

Методы: лекции, письменные и устные домашние задания, консультации преподавателя, самостоятельная работа студентов, включающая освоение теоретического материала и выполнение письменных работ.

Вопросы для самопроверки

· Какие свойства бесконечно малых функций вам известны?

· В чем заключается критерий Коши?

· Какие выражения относятся к неопределенностям?

· Перечислите приемы раскрытия основных неопределенностей.

· Что называется главной частью бесконечно малой функции?

· Верно ли, что если функция ограничена, то она имеет конечный предел?

· Что означает, что функция непрерывна в точке?

· Что означает, что функция непрерывна на множестве?

· Может ли непрерывная функция иметь точки разрыва?

· Верно ли, что все основные элементарные функции непрерывны на всей области определения?

· Как используется понятие непрерывности для раскрытия неопределенностей?

· Что называется приращением функции в точке?

· Каков геометрический смысл производной?

· Каков экономический смысл производной?

· Сформулируйте правила нахождения производной.

· Используется ли понятие производной в физике?

· Что называется предельным анализом?

· Что характеризуют предельные издержки?

· Какими свойствами обладает функция спроса?

· Какими свойствами обладает функция предложения?

· Может ли дифференциал в точке совпадать с производной в точке?

· Как составить уравнение касательной к графику функции?

· Может ли производная помочь в исследовании свойств функции? Как?

· Что можно определить для функции по знаку ее второй производной?

· Можно ли сказать, что первообразная функции и ее неопределенный интеграл – это одно и то же?

· Обладает ли операция неопределенного интегрирования свойством линейности?

· Какие методы интегрирования относятся к основным?

· В чем заключается метод интегрирования по частям?

· Для всякой ли функции можно найти первообразную, используя основные методы?

· Приведите формулы из таблицы интегралов. Как доказать, что они верны?

· Что называется определенным интегралом функции?

· Что означает, что функция интегрируема по Риману?

· Назовите способы вычисления определенного интеграла.

· Как выглядит формула Ньютона – Лейбница?

· Для решения каких экономических задач используется понятие определенного интеграла?

· Что называется несобственным интегралом первого рода?

· Что называется несобственным интегралом второго рода?

· Что означает, что несобственный интеграл расходится?

· Как проводится исследование на сходимость несобственного интеграла, для которого точка разрыва подынтегральной функции лежит внутри отрезка интегрируемости?

Раздел 3. Экономико-математические модели и методы

Цели и задачи изучения раздела: ознакомление с основными понятиями математического программирования; формирование навыка решения задач линейного программирования графическим и симплексным методами; использование математического программирования для анализа экономических и социальных процессов.

Тема 25. Задачи линейного программирования.

Выпуклые множества и их свойства. Экономико – математическая модель (целевая функция, допустимый план, оптимальный план), примеры задач линейного программирования (задача об использовании ресурсов, задача составления рациона, задача об использовании мощностей, транспортная задача); общая задача линейного программирования (стандартная, каноническая формы записи задачи линейного программирования); выпуклые множества точек, геометрический смысл решений неравенств и их систем (угловые точки, допустимые базисные решения). Теоретические основы методов линейного программирования: свойства задачи линейного программирования. Геометрический метод решения задач линейного программирования. Симплексный метод: геометрический смысл симплексного метода, симплексные таблицы, метод искусственного базиса. Транспортная задача: экономико-математическая модель транспортной задачи, нахождение первоначального базисного распределения поставок (метод северо-западного угла), критерий оптимальности распределения поставок (метод потенциалов); открытая модель транспортной задачи. Постановка задачи целочисленного программирования, метод отсечения; метод Гомори; понятие о методе ветвей и границ.

Тема 26. Динамическое программирование.

Общая постановка задачи динамического программирования, принцип оптимальности и уравнения Беллмана, задача о распределении средств между предприятиями, общая схема применения метода динамического программирования, задача об оптимальном распределении ресурсов между отраслями, задача о замене оборудования. Модели нелинейного программирования: выпуклое программирование (метод наискорейшего спуска).

Тема 27. Теория игр.

Понятие об игровых моделях, матричные игры, платежная матрица, нижняя и верхняя цена игры, решение игр в смешанных стратегиях, геометрическая интерпретация двумерной игры. Кооперативные игры. Игры с природой.

Тема 28. Элементы теории графов.

Плоские графы, эйлеровы графы, гамильтоновы графы, орграфы, сетевые графики.

Методы: лекции, письменные и устные домашние задания, консультации преподавателя, самостоятельная работа студентов, включающая освоение теоретического материала и выполнение письменных работ.

Вопросы для самопроверки:

· Какое множество называется выпуклым?

· Как в общем случае ставится задачи математического программирования?

· Каковы особенности задачи линейного программирования?

· Какие методы используются для решения задач линейного программирования?

· В чем заключается идея симплексного метода?

· Как ставится задачи целочисленного программирования?

· Какие численные методы используются для решения задач оптимизации?

· Что называется игрой?

· Как формулируется основная теорема теории игр?

· Как определяется оптимальная стратегия игрока в случае отсутствия седловой точки?

· Что называется графом?

· В чем состоят матричные способы задания графа?

· Как классифицируются маршруты графа?

· Какой граф называется гамильтоновым?

Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика

Цели и задачи изучения раздела: ознакомление с основными понятиями комбинаторики; формирование понятия вероятности случайного события; формирование навыка решения задач на случайные события и случайные вероятности; использование математической статистики для анализа экономических и социальных процессов.

Тема 29. Случайные события.

Элементы комбинаторики (размещения, понятие факториала, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями, перестановки, перестановки с повторениями); классическое, геометрическое, статистическое определения вероятности, свойства вероятности; классификация событий (достоверные, случайные, невозможные), диаграммы Эйлера-Венна; сумма и произведение событий, события совместные и несовместные, зависимые и независимые; вероятность суммы и произведения событий; основные формулы теории случайных событий (формулы Бернулли, полной вероятности, Байеса).

Тема 30. Дискретные случайные величины.

Понятие случайной величины, понятие дискретной случайной величины; закон распределения, функция распределения и ряд распределения случайной величины, числовые характеристики дискретной случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение) и их свойства; виды распределения дискретных величин (распределение Бернулли, Пуассона, гипергеометрическое распределение), их числовые характеристики; вероятность попадания значений случайной величины в заданный интервал.

Тема 31. Непрерывные случайные величины.

Понятие непрерывной случайной величины; закон распределения, функция распределения и плотность распределения случайной величины и их графики, свойства функции распределения; числовые характеристики непрерывной случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение); виды распределения непрерывных величин (равномерное, показательное и нормальное распределения), кривая Гаусса, интеграл Лапласа, правило трех сигм, неравенство Чебышева и закон больших чисел, центральная предельная теорема, теорема Муавра - Лапласа), их числовые характеристики; вероятность попадания значений случайной величины в заданный интервал.

Тема 32. Марковский случайный процесс.

Процесс с дискретным временем, процесс с непрерывным временем; поток событий и его характеристики (интенсивность, регулярность, стационарность, ординарность). Задача анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания.

Тема 33. Математическая статистика.

Статистическое оценивание гипотез: вариационные ряды и их числовые характеристики, выборочный метод (основные понятия и определения выборочного метода – параметры генеральной совокупности, статистики, точечные оценки), интервальное оценивание и доверительные интервалы. Проверка статистических гипотез (понятие уровня значимости, мощность критерия, конкурирующая гипотеза). Корреляция и регрессия.

Методы: лекции, письменные и устные домашние задания, консультации преподавателя, самостоятельная работа студентов, включающая освоение теоретического материала и выполнение письменных работ.

Вопросы для самопроверки

· В чем состоят правила умножения и сложения комбинаторики?

· Какие выборки называются сочетаниями?

· Какие выборки называются размещениями?

· Какие выборки называются перестановками?

· Что составляет предмет комбинаторики как раздела математики?

· Приведите классификацию событий.

· Сформулируйте классическое определение вероятности события.

· Как выглядят аксиомы вероятностей?

· Что называется алгеброй событий?

· Какие события называются совместными?

· Как найти вероятность суммы событий? От чего зависит выбор формулы?

· Как найти вероятность произведения событий? От чего зависит выбор формулы?

· В каких случаях используется формула Бернулли?

· В каких случаях используется формула полной вероятности?

· В каких случаях используется формула Байеса?

· Что называется случайной величиной?

· Перечислите виды распределения дискретных случайных величин.

· Перечислите виды распределения непрерывных случайных величин.

· В чем заключается основная задача математической статистики?

· Какие способы представления информации используются в статистике?

· Какие виды оценок параметров распределения применяются в статистике?

· Как найти доверительный интервал оценки параметра распределения?

· Что называется уровнем значимости?

· В чем заключается общий принцип формулирования конкурирующей гипотезы?

Дата добавления: 2015-11-03