Построение векторных диаграмм электрических цепей

Существенно упростить расчеты можно, отказавшись от описания сигналов с помощью тригонометрических функций времени и заменив его числами, на зависящими от времени, в частности, с помощью векторных диаграмм.

Гармонический сигнал можно представить проекцией на горизонтальную ось вектора, вращающегося против часовой стрелки вокруг начала координат с круговой (угловой) частотой ω, как показано на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Представление сигнала в виде векторной диаграммы

Длина (модуль) вектора равна амплитуде гармонического сигнала S и в момент начала вращения (при t = 0) угол его наклона к горизонтальной оси равен начальной фазе сигнала (отсчет положительных значений проводится против часовой стрелки).

Все гармонические токи и напряжения в цепи с одинаковой частотой, равной частоте источников сигнала, можно представить совокупностью синхронно вращающихся векторов вида рис. 2.8. Так как все векторы вращаются синхронно и между ними сохраняются амплитудные и угловые соотношения, то вращение можно остановить и рассматривать неподвижную совокупность векторов. Если вращение остановлено в момент времени t = 0, то угол наклона каждого вектора к горизонтальной оси равен начальной фазе соответствующего вектору гармонического сигнала.

Совокупность векторов, соответствующих гармоническим токам и напряжениям цепи, длина каждого вектора равна амплитуде (или действующему значению) сигнала, а угол наклона вектора к горизонтальной оси – начальной фазе сигнала называется векторной диаграммой электрической цепи.

На рис. 2.9 приведены векторные диаграммы для пассивных элементов электрической цепи.

Пример

Рассмотрим RC-цепь, показанную на рис. 2.10, в которой заданы положительные направления и условные обозначения всех токов и напряжений.

а) б) в)

Рис. 2.9. Векторные диаграммы для пассивных элементов электрической цепи (а) – для сопротивления активного сопротивления, б) - для емкости, в) - для индуктивности)

Рис. 2.10. К анализу цепи с помощью векторных диаграмм

Прежде всего, необходимо проанализировать структуру цепи. В ней присутствует параллельный фрагмент (соединение элементов C и R ₂), который соединен последовательно с сопротивлением R ₁ и источником напряжения e(t). Построение необходимо начать с напряжения на параллельном фрагменте, при этом u ₂ = u ₃, этот вектор проведем произвольно по модулю и направлению, например, горизонтально, векторная диаграмма показана на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Полная векторная диаграмма цепи

Ток i ₂ совпадает по фазе с напряжениями u ₂ = u ₃, а ток i ₃ опережает их по фазе на 90⁰. Соответствующие векторы изображены на диаграмме рис. 2.11 с произвольной длиной и указанными угловыми соотношениями относительно вектора u ₂ = u ₃. Векторная сумма этих токов по первому закону Кирхгофа равна току i ₁, то есть этот вектор строится исходя из векторов i ₂ и i ₃.

Вектор напряжения u ₁ на сопротивлении R ₁ совпадает по направлению с вектором тока i ₁ и имеет произвольную длину, а вектор э.д.с. e(t) по второму закону Кирхгофа равен сумме векторов u ₁ и u ₂ = u ₃. На этом построение «качественной» векторной диаграммы цепи заканчивается.

Если цепь содержит последовательный фрагмент, входящий в смешанное соединение, то построение целесообразно начинать с вектора тока этого фрагмента.

Векторная диаграмма электрической цепи может использоваться для иллюстрации амплитудных и фазовых соотношений между токами и напряжениями, и для формирования аналитических выражений, связывающих их амплитуды (действующие значения) и начальные фазы.

Например, для диаграммы рис. 2.11 амплитуды (действующие значения) токов I ₁, I ₂ и I ₃ по теореме Пифагора связаны выражением . Для других соотношений можно использовать теорему косинусов.

Для сложной цепи построение «качественной» векторной диаграммы требует вдумчивого подхода при выборе начального вектора и способов построения остальных векторов.

Дата добавления: 2015-11-03