Положительные ординаты эпюры крутящих моментов откладывают вверх, отрицательные — вниз от горизонтальной линии, называемой осью, или базой, эпюры.

Чистый сдвиг

Экспериментально чистый сдвиг может быть осуществлен при кручении тонкостенной трубы (рис. 79, а).

Рассмотрим элемент abcd, вырезанный из тонкостенной трубы (рис. 79, б).

При возникновении касательных напряжений элемент перекашивается. Если считать грань ad закрепленной, то грань bс сдвинется в положение b₁c₁. Прямые углы между гранями изменяются на величину γ.

Угол γ, представляющий собой изменение первоначально прямого угла между гранями элементарного параллелепипеда, называется углом сдвига.

Касательные напряжения τ и угол сдвига γ, называемый также относительным сдвигом, связаны прямой пропорциональностью, то есть законом Гука:

где G - модуль сдвига, при деформации сдвига;

γ - выражается отвлеченным числом, то модуль сдвига G, измеряется в МПа, Н/мм², кгс/см².

Между модулем упругости Е и модулем сдвига G существует зависимость:

где μ — коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).

Для стали μ = 0,25; G = 0,4 Е = 0,4.2.105 = 8.104 МПа.

2. Основные понятия. Эпюры крутящихся моментов

Кручение возникает при нагружении бруса парами сил, расположенными в плоскостях, перпендикулярных продольной оси бруса (рис).

Моменты этих пар М_вр называют вращающими моментами. Величину вращающего момента М_вр можно вычислить по передаваемой мощности Р и частоте вращения n

Эта формула дает величину момента в Н*м, если мощность выражена в Вт, а частота в об/мин.

Момент внутренних сил относительно продольной оси бруса называют крутящим моментом М_k. При кручении в поперечных сечениях бруса возникает один внутренний силовой фактор — крутящий момент М_k. Он определяется при помощи метода сечений.

Когда вращение от двигателя передается при помощи передаточного вала нескольким рабочим машинам, крутящий момент не остается постоянным по длине вала. Характер изменения крутящего момента по длине вала наиболее наглядно может быть представлен эпюрой крутящих моментов. Рассмотрим построение такой эпюры для вала, на котором закреплено несколько шкивов (рис.а);

шкив I получает вращение от двигателя, шкивы II, III и IV передают его станкам. Моменты, передаваемые каждым шкивом на вал, вычисляют по формуле . Направление момента М₁ противоположно направлению моментов М₂, М₃ и М₄. При установившемся движении (равномерном вращении вала), пренебрегая трением в подшипниках, получаем из условия равновесия вала:

Крутящий момент изменяется в сечениях вала, передающих внешние моменты от шкивов. Разделим вал на три участка (рис.а) и определим крутящие моменты в поперечных сечениях каждого из них. Крутящий момент в любом поперечном сечении первого участка между шкивами II п I уравновешивает момент внешней пары М₂, действующий на левую отсеченную часть, т. е. M_k1=M_2.

При рассмотрении правой части из условия ее равновесия мы получили бы, естественно, тот же результат: .Аналогично вычисляется крутящий момент в поперечных сечениях на втором участке вала между шкивами I и III: , а на третьем участке между шкивами III и IV:

Итак, крутящий момент в каком-либо поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме моментов внешних пар, действующих на вал в плоскостях, перпендикулярных оси вала, и приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. Эпюру крутящих моментов строят аналогично эпюре продольных сил, откладывая от горизонтали (рис.б) ординаты, пропорциональные крутящим моментам в поперечных сечениях соответствующих участков вала.

Знак крутящего момента в поперечном сечении вала определяется исходя из направления внешних моментов. Крутящий момент положителен, когда внешние моменты вращают отсеченную часть по часовой стрелке, если смотреть со стороны проведенного сечения.

Положительные ординаты эпюры крутящих моментов откладывают вверх, отрицательные — вниз от горизонтальной линии, называемой осью, или базой, эпюры.

3. Напряжения и деформация при кручении вала

Для наиболее часто встречающихся валов круглого и кольцевого сечения при кручении поперечные сечения сохраняют плоскую форму, а радиусы этих сечений, поворачиваясь, не искривляются.

Рассмотрим элемент вала (рис.а) длиной l, причем крайнее левое сечение этого элемента будем считать условно неподвижным, что эквивалентно определению перемещений относительно этого сечения. Любая образующая наружная АВ или внутренняя ЕС смещается при кручении и возникают перекосы, определяемые углами сдвига Y _max для образующей АВ или Y для образующей ЕС (рис.а). При этом радиус крайнего правого сечения OB поворачивается в положение ОВ ₁ на некоторый угол j, называемый углом закручивания. Учитывая малость деформаций и выражая ВВ₁ и CC₁ как дуги окружностей, легко определить соотношения между углом сдвига Y _max или Y и углом закручивания j:

откуда

или получим

Таким образом, угол сдвига в поперечном сечении прямо пропорционален расстоянию от оси вала р. Величина j /l, определяющая относительный угол закручивания или угол на единицу длины, для каждого сечения вала является постоянной, так как выражается через постоянную значения Y _max и r.

Сдвиг отдельных элементов вала сопровождается возникновением в его поперечных сечениях касательных напряжений, которые могут быть определены по закону Гука для сдвига:

или

т. е. касательные напряжения в поперечном сечении меняются по длине радиуса по линейному закону. Сдвиг в поперечных сечениях при кручении происходит по направлению касательных к окружностям, поэтому направление касательного напряжения в какой-либо точке течения перпендикулярно к соответствующему радиусу (рис.б).

Если dA — площадь элементарной площадки (см.рис.б), то элементарная внутренняя сила на этой площадке, расположенной на расстоянии р от оси бруса, τdA, а ее момент относительно оси бруса равен τdAp.

Сумма моментов всех элементарных внутренних касательных сил, возникающих в поперечном сечении, представляет собой крутящий момент М_к в данном сечении и определяется интегралом, взятым по всей площади

Выражая τ через и вынося затем постоянный множитель за знак интеграла, получаем

Этот интеграл, как известно из предыдущего, представляет собой полярный момент инерции сечения

Таким образом, , откуда

и соответственно

эта формула определяет касательное, напряжение в любой точке поперечного сечения при кручении вала круглого поперечного сечения. Наибольшего значения достигают напряжения в поперечном сечении в точках у поверхности, т. е. в точках, наиболее удаленных от его оси.

Отношение J_p/r = W_p называют полярным моментом сопротивления сечения.

Полярный момент сопротивления круга вычислим, разделив величину J _p на радиус r = 0,5 d,

Аналогично для кольцевого сечения

где

Определим угол закручивания бруса, изображенного на рис.а. Исходя из уравнений и находим

Подставляя окончательно получаем

Величина угла φ выражается в радианах. Угол поворота можно определять лишь для участка бруса, имеющего постоянное поперечное сечение, при условии, что крутящий момент по длине этого участка не изменяется.

Дата добавления: 2015-10-28