Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса в различных четвертях.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.

Основное тригонометрическое тождество и следствия из него.

Используя основные тригонометрические тождества, можно доказывать различные другие тождества и производить различные тригонометрические преобразования. Для этого используют общие правила действий над алгебраическими выражениями.

Задача 4. Доказать, что

Доказательство. Преобразуем правую часть заменой в числителе 1 на . Получим

Получили такое же выражение, которое находится в левой части заданного равенства, что и требовалось доказать.

Задача 5. Дано . Найти .

Решение. Из тождества можно выразить косинус через синус:

. Точка находится в первой четверти; следовательно,

Ответ. .

Задача 5. Дано . Найти .

Решение. Из тождества можно выразить косинус через синус:

. Точка находится во второй четверти; следовательно,

Ответ. .

Задача 6. Дано . Найти .

Решение. В задаче не указано в какой четверти находится точка , поэтому однозначного ответа дать нельзя. По условию задачи , следовательно точка находится либо в первой, либо во второй четверти; в первой четверти косинус – число положительное, во второй – отрицательное.

Ответ. Если , то , если , то .

Формулы (теоремы) сложения аргументов.

Задача 7. Вычислить и .

Решение.

, .

Ответ. , .

Задача 8. Вычислить .

Решение. .

Ответ:

Задача 9. Доказать равенство .

Решение. Что и требовалось доказать.

Формулы двойного аргумента.

Задача 10. Вычислить и .

Решение.

;

.

Ответ: , .

Задача 11. Вычислить . Найти .

Решение.

Ответ: .

Задача 12. Упростить выражение .

Решение.

Формулы понижения степени.

Задача 13. Вычислить и .

Решение. Так как , то

;

Перед корнем ставится знак плюс, так как и .

Ответ: ;

Формулы половинного аргумента (знак – по функции в левой части).

Задача 14. Упростить выражение .

Решение.

Ответ:

Формулы преобразований сумм в произведение.

Задача 15. Вычислить .

Решение.

Ответ:

Задача 16. Преобразовать в произведение .

Решение.

.

Задача 17. Вычислить .

Решение. Используя формулу разности синусов и формулу синуса двойного угла, получим

.

Ответ: .

Формулы преобразований произведений в суммы.

Задача 17. Вычислить , если .

Решение. Используя формулу (2), а затем формулу , получим

Ответ: 10.

Формулы приведения.

Аргумент Функция

1) В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии .

2) Если в левой части формулы угол равен или , то функция меняется на кофункцию. Если же угол равен , то замены не происходит.

Задача 18. Вычислить .

Решение.

Ответ: .

Задача 19. Упростить выражение .

Решение.

Ответ: 1.

Значения тригонометрических функций некоторых углов.

Дата добавления: 2015-10-28