Вычисление значений и тождественные преобразования тригонометрических выражений.

Выражения, содержащие обозначения sin, cos, tg и ctg, называются тригонометрическими выражениями.

Равенство тригонометрических выражений, справедливое для всех допустимых значений входящих в него переменных (т.е. таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называется тригонометрическим тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называются задачами на доказательство тождеств.

Выражения, стоящие в левой и правой частях тождества, называются тождественно равными, а переход от данного выражения к тождественно равному называется тождественным преобразованием.

Для доказательства тригонометрических тождеств, как правило, используют те же способы, что и при доказательстве алгебраических тождеств (преобразование левой части к правой; преобразование правой части к левой; преобразование левой и правой частей к одному и тому же выражению; установление того, что разность между левой и правой частями равен нулю). Обычно при доказательстве тригонометрических тождеств или упрощении выражений допустимые значения углов не устанавливается, если это не требуется в условии задачи.

Задача 20. Доказать тождество .

Доказательство. В левой части доказываемого равенства используем формулу разности кубов и основное тригонометрическое тождество.

Задача 21. Доказать тождество .
Доказательство. Преобразуем числитель и знаменатель правой части доказываемого равенства:

Следовательно,

.

Задача 22. Доказать тождество .

Доказательство. Преобразуем левую и правую части доказываемого равенства:

.

Тождество доказано, так как левая и правая части равны.

При упрощении тригонометрических выражений обычно последовательно заменяют все выражение или его отдельные части на тождественно равные. Упрощение считается завершенным, если в итоге получается выражение более простого вида, не допускающее дальнейшего упрощения.

Задача 23. Упростить выражение .

Решение.

Дата добавления: 2015-10-28