Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода

129. Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

130. Если функция принимает в концах отрезкаположительное и отрицательное значение, то существует точка, в которой она равна нулю. Более точно пусть и Тогда такое, что

131. Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что .

132. Пусть функция ф определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда мноэжесьтво ее значений ограничено на этом отрезке.

Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем.

133. Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения).

134. Бесконечно малая при функция называется функцией более высокого порядка по сравнению с функцией при , если .

В этом случае пишут .

135. Две бесконечно малые при функции и называются бесконечно малыми одинакового порядка, если , где и конечно

136. Выа

137. Б.м. функции и называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при , если

Обозначают: при .

138. Производная функции в точке определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

где

139. Ро

140. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , и дифференцируема в ней: . Касательной прямой к графику функции в точке называется график линейной функции, задаваемой уравнением

.

141. Нормаль — это прямая, ортогональная (перпендикулярная) касательному пространству (касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности и т. д.).

142. Функция одной переменной является дифференцируемой в точке своей области определения , если существует такая константа , что для любой точки верно

при этом число неизбежно равно производной

143. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция f непрерывна на (a, b)

144. Пусть функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (x ₀, y ₀) и ее аргументы x = x (t) и y = y (t) дифференцируемы в точке t ₀, причем x (t ₀) = x ₀, y (t ₀) = y ₀.

Тогда сложная функция z = f (x (t), y (t)) переменной t дифференцируема в точке t ₀ и ее производная вычисляется по формуле

145. Пусть функция определена на промежутке Х, непрерывна, монотонна (возрастает или убывает) и дифференцируема на Х. Если ее производная в точке не равна нулю, то обратная функция имеет производную в точке , причем

.

146. Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

147. Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом

148. Пусть функция зависит от переменной и дифференцируема в точке . Может оказаться, что в точке дифференциал , рассматриваемый как функция от , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

149. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Тогда существует число c (a,b), такое, что

150. Теорема Лопиталя:

1. либо ;

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3. в проколотой окрестности ;

4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

151. Если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)³f(x2), то функция называется невозрастающей на множестве D1.

152. Если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)£f(x2), то функция называется неубывающей на множестве D1

153. если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)<f(x2), то функция называется возрастающей на множестве D1

154. Если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)>f(x2), то функция называется убывающей на множестве D1

155. Функция только возрастающая только убывающая на промежутке [a;b] называется монотонной на этом промежутке.

156. Пусть 1) ф(х) непрерывна на [a;b] 2) дифференцируема на Эф’(x)U>f[a;b]

Тогда чтобы ф(х) непрерывно на [a;b] необходимо достаточно чтобы ф’(x)>=oUx┴(a;b)

157.

158. Если ф наиб (х_0), х0э(а;б), то М (х0, ф(х0)) локальный максиму ф(х) на [a;b]

Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .

159. Если ф наиб (х₀₎₌ф_(х), х0э(а;б), то М (х0, ф(х0)) локальный минимум ф(х) на [a;b]

Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .

160. Число М называется локальным максимумом функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из нее выполняется неравенство . При этом М= , а сама точка называется точкой локального максимума.

161. Число m называется локальным минимумом функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из нее выполняется неравенство . При этом m= , а сама точка называется точкой локального минимума.

162. Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

163. Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.

164. Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки ;

2. или не существует;

3. производная при переходе через точку меняет свой знак.

Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки ;

2. первая производная в точке ;

3. в точке .

Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум.

165. Функция называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале , если график функции идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика и при .

166. функция называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале , если график функции идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика и при .

167. Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

168. Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.

169. Если:

1. первая производная непрерывна в окрестности точки ;

2. вторая производная или не существует в точке ;

3. при переходе через точку меняет свой знак,

тогда в точке функция имеет перегиб.

170. Фв

171. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

172. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .

173. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если

Дата добавления: 2015-10-28