Теорема Лапласа

Пусть выбраны любые строк матрицы . Тогда определитель матрицы равен сумме всевозможных произведений миноров -го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения.

где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов

20. Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам

(столбцам):

, где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.

При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

Общий множитель элементов какой-либо строки определителя можно вынести за знак определителя.

Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).

С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

Определитель квадратной матрицы 3*3 равен ориентированному объему параллелепипеда, три ребра которого заданы векторами-столбцами матрицы.

21. Матрица A называется ступенчатой, если все ее нулевые строки стоят после ненулевых, и в каждой ненулевой строке, начиная со второй, ее главный элемент стоит правее главного элемента предыдущей строки.

22. выа

23. Рангом матрицы А наз. наивысший порядок отличного от нуля и минора столбцов

24. Строка матрицы А наз. Линейной комбинацией строк е₁ е₂ е₃ е₅ если она равна сумме произведения этих строк на какие-либо числа.

е = ке +ке+ке…+ке где кэЯ

25. Строки е1 е2…еn матрицы наз. Линейно зависимыми, если сущ. такие числа к1, к2…кn не равные 0 одновременно, то линейная комбинация этих строк равна 0.

Ке+ке+ке+ке+…+ке=0

26. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов), через которые линейно выражаются остальные строки.

27. Линейно независимые строки матрицы наз. Базисными.

28. МАТРИЦА А^-1 наз. Обратной по отношению к матрице А если А^-1 * А = А * А^-1 = Е

29. Если |А|=0 то матрица А наз. Вырожденной

30. Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь — количество уравнений, а — количество неизвестных. x ₁, x ₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a ₁₁, a ₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b ₁, b ₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными.

31. Решением системы наз. Такую совокупность чисел х1=к1, х2=к2, х3=к3 которая при подстановке в каждые ур. Системы вместо хн образует ур. В тождество

32. Система ур. Наз совместной если она имеет хотя бы одно решение

33. Система ур. Наз несовместной если она не имеет решения

34. Совместная система наз определенной если она имеет совместное решение.

35. Не определенной если она имеет более одного решения.

36. Две системы наз. Равносильными если имеют одинаковое решение

37. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ранг матрицы равен расширенному рангу матрицы системы.

38. АХ = 0

0 нулевоцй столбец

39. АВ наз. Направленный отрезок [А;В] с начальной точкой А и конечной т. В

40. Длина вектора наз число равное длине оттрезка изображающий этот вектор.

41. Векторы леж. На одной прямой и сонаправленны наз коллинеарны

42. Вектор у которых совпадают начало и конец наз нулевым

43. Сумма 2х веккторов Аи В наз С = А+В

44. Умножение вектора А на число х наз вектор такой что его длина вычислсляется |B| =x |A| x>=0

=x|A| x<0

45. Ва

46. Прямоугольными координатами вектора м наз. Алгебраические проекции вектора м на оси координат.

47. I,j,k наз направленными векторами ОхОуОz

48. Векторы I,j,k назортонормированными базисами

49. Ыв

50. Радиус вектор М наз. Вектор r= ОМ = xi+yj+zk где М (x,y,z)

51. пРОекцией вектора на ось ох наз вектор А’B’, начало которого А’ есть проекция начала А на ось ох, а конец B’ проекция конуа В на ту же ось.

52. Скалярным произведением вектора а на вектор б наз произведение их модулей на кос угла межде ними

53. Прпр

54. [AB](ab) наз. Такой вектор который удовл. Следующие свойством: длина векторным произведением

1. [аб] = |a||b|sinф

2. [ab]┴a, [ab]┴b

3. [ab] направлен так что из конца кратчайший поворот от а к б виден проходящем против часовой стрелки

55. Смешанным произведением (а+б+с) наз скалярное произведение ([а,б]с) обознач (а,б,с)

56. Векторное (линейное) пространство — это математическая структура, которая формируется набором элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр^[1].

57. Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует п линейно независимых элементов, а любые (n + 1) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число n называется размерностью пространства R.
Размерность пространства R обычно обозначают символом dim R.

58. Ненулевые векторы называются линейно зависимыми, если нетривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору:

59. Ненулевые векторы называются линейно независимыми, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору

60. Ба́зис — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виделинейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

61. Иро

62. Каждое ненулевое конечномерное пространство V =L(a1;:::; an) обладает конечным базисом. Все базисы V состоят из одинакового числа r · n векторов (это число называется размерностью пространства V над F и обозначается dimF V = r).

63. Уравнение вида Ах+Ву+С=0 (2) при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В одновременно не равны нулю) определяют некоторую прямую в прямоугольной системе координат. Данное уравнение называется общим уравнением прямой.

64. Условием перпендикулярности двух прямых заданных уравнениями

Y=a1x+b1

Y=a2x+b2

Служит a1a2=-1

65. Условием параллельности двух прямых заданных уравнениями

Y=a1x+b1

Y=a2x+b2

Служит a1=a2

66. Общее уравнение (полное) плоскости

где и — постоянные, причём и одновременно не равны нулю

67. в векторной форме:

где — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющиекосинусы вектора :

68. Если плоскости А1х+В1Х+С1Х+Д1=0 И А2ХВ2Х+С2Х+Д2=0 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ ТО ПЕРпендикулярны и и их нормальные векторы N1{A1;b1;c1}, N2{A2;B2;C2} Поэтому условие необходимое и достаточное есть А1А2+В1В2+С1С2 = 0.

69. Две плоскости тогда и только тогда параллельны друг другу, когда их нормальные векторы параллельны между собой. Поэтому из условия параллельности двух векторов (см. гл. III, формула (64)) получим

70. Общее уравнение линии второго порядка имеет вид

Ax ² + 2 Bxy + Cy ² +2 Dx + 2 Ey + F = F(x;y).

71. Эллипсом наз кривая ур которой в СК имеет вид х²/а²+у²/в²=1

Эллипсом наз множество точек, сумма растояний от которых до двух данных точек фокусов есть величина постоянная |МФ1|+|МФ2|= конст

72. Параболой наз множество точек равноудаленных от данной точки фокуса параболы и от данной прямой (директриссой параболы)

|МФ|=|МА|

Параблой наз кривая ур которой в дек ск у²=2рх, р>0

73. Гиперболой наз кривая ур каторой в дек ск имеет вид х²/а²-у²/в²=1 а>0 b>0

Гиперьболой можно назвать мно=во точек абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных точек – фокусах постоянны.

74. Пусть произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от менее чем на , то есть .

75. Ва

76. Ва

77. Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху, если существует число , такое что все элементы не превосходят :

78. Множество вещественных чисел называется ограниченным снизу, если существует число , такое что все элементы не меньше :

79. Множество , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

80. Пусть дано частично упорядоченное множество и его подмножество Тогда элемент называется точной верхней гранью или супре́мумом , если он является наименьшей верхней гранью то есть

§

§

81. Аналогично элемент называется точной нижней гранью или инфимумом , если он является наибольшей нижней гранью то есть

§

§

Пишут:

§

§

82. Множество , не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

83. Пусть — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества называется числовой последовательностью.

84. Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

стационарная

85. Пусть дано топологическое пространство и последовательность Тогда, если существует элемент такой, что

,

где — открытое множество, содержащее , то он называется пределом последовательности . Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент такой, что

,

где — метрика, то называется пределом .

86. Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества , имеющая предел в этом множестве.

87. Это посл не явл сходящ

88. Пусть задана числовая последовательность { x_n }. Эта последовательность сходится тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 существует номер N такой, что при всех n > N и любых натуральных m выполняется неравенство (т.е. расстояние между членами последовательности с номерами n и n + m меньше ε) – критерий Коши сходимости последовательности.

89. Последовательность может иметь только один предел.

90. Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества , все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

ограниченная сверху

91. Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества , для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

ограниченная снизу

92. Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

ограниченная

93. Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.

неограниченная

94. Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.

95. Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

96. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности
Если последовательность имеет конечный предел, то последовательность ограничена.

97. ограниченная последовательность имеет предел

98. Последовательность элементов множества называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

— неубывающая

99. Последовательность элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

— невозрастающая

100. Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают.

101. Если последовательность является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и ограничена сверху (снизу), то является сходящейся.

Данную теорему можно сформулировать немного иначе - Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

102. e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число

предел к которому стремится (1+1/н)^н при н стремящейся к бесконечности обознач е

лим н стр к беск (1+1/н)^н = е

е = 2,71828

103. Подпоследовательностью называется числовая последовательность, которая составлена из членов последовательности и в которой порядок следования её элементов совпадает с их порядком следования в исходной последовательности .

104. Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.

105. Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

106. Если последовательность точек пространства неограничена, то из неё можно выделить подпоследовательность, имеющую предел .

107. Функция (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому элементу из множества ставится в соответствие единственный элемент из множества .

108. Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .^[1]

109. Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к .^[1]

110. Если функция имеет предел то он единственный

111. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что | f (x) | M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

112. Если функция не убывает на и ограничена сверху, то существует . Если не возрастает на и ограничена снизу, то . Если не убывает на и ограничена снизу, то . Если не возрастает и ограничена сверху на , то .

113. Оор

114. Если функция такая, что для всех в некоторой окрестности точки , причем функции и имеют одинаковый предел при , то существует предел функции при , равный этому же значению, то есть

115. Вап

116. Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

117. Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

118. Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

119. редел частного (отношения) двух бесконечно малых или бесконечно больших величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов

120. Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число — предельная точка области определения

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны.

121. Фы

122. Функция непрерывна в точке , если для любого существует такое, что для любого

123. Если функция f(x) непрерывна в точке x₀ и f(x₀) ≠ 0, то существует окрестность точки x₀, в которойf(x) ≠ 0, причем знак f(x) в этой окрестности совпадает со знаком f(x₀).

124. Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

125. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки t0 и имеет , равный х0. Пусть точка принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х0. Тогда существует , и .

126. Если функция f непрерывна в точке a и функция g непрерывна в точке f(a), то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке a. Словами, непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.

127. Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

называется точкой разрыва функции.

Дата добавления: 2015-10-28