Тема 6.5. Решётки

До сих пор нами рассматривались множества, на которых заданы операции. Множества, на которых кроме операций, заданы отношения, называются алгебраическими системами. Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем, у которых множество алгебраических отношений пусто. Другим частным случаем алгебраических систем являются модели – множества, на которых заданы только отношения.

Рассмотрим здесь лишь один пример алгебраической системы, который наиболее часто встречается в теоретической алгебре и её приложениях – решётки.

Определение: Решёткой называется множество , частично упорядоченное отношением нестрогого порядка , с двумя бинарными операциями и , такое что выполнены следующие условия (аксиомы решётки):

1. (идемподентность);

2. (коммутативность);

3. (ассоциативность);

4. (поглощение).

Решётка называется дистрибутивной, если выполняются два следующих условия и .

Определение: Если в решётке существует элемент 0, такой что для любого выполняется , то он называется нижней гранью (нулём) решётки.

Определение: Если в решётке существует элемент 1, такой что для любого выполняется , то он называется верхней гранью (единицей) решётки.

Определение: Решётка, имеющая верхнюю и нижнюю грани, называется ограниченной.

Теорема: Если нижняя (верхняя) грань решётки существует, то она единственная.

Определение: В ограниченной решётке элемент называется дополнением элемента , если и .

Пример 6.10:

а) Любое полностью упорядоченное множество, например, множество целых чисел, можно превратить в решётку, определив для любых , что и .

б) Определим на множестве натуральных чисел отношение частичного порядка следующим образом: , если является делителем . Тогда есть наименьшее общее кратное этих чисел, а их наибольший общий делитель.

Решётка, в которой пересечение и объединение существуют для любого подмножества её элементов, называется полной. Конечная решётка всегда полна.

Дата добавления: 2015-10-28