Приложение. Анализ определителя системы уравнений (11)

Найдем выражение для определителя матрицы , формула (9), произвольной размерности и найдем его нули. Обозначим такой определитель как . Две черты сверху означают, что в двух углах (верхнем левом и нижнем правом) матрицы стоят «возмущенные» диагональные матричные элементы . Все остальные диагональные матричные элементы «невозмущенные», то есть равны . – определитель матрицы , у которой только в одном углу (нижнем правом) стоит «возмущенный» матричный элемент . – определитель матрицы , у которой все диагональные элементы включая угловые – «невозмущенные», то есть равные . Термин «возмущенный» и «невозмущенный» матричный элемент здесь уместен, поскольку наличие в угловом диагональном матричном элементе является следствием поверхностного возмущения, вызванного отсутствием у первого и последнего атомов в цепочке соседних атомов с одной стороны.

Раскладывая определитель матрицы по строкам и столбцам, можно уравнение записать в виде

. (П1)

Определители удовлетворяют рекуррентному уравнению (выражение для и это рекуррентное уравнение выведены в Приложении к лекции про таммовские состояния). Пользуясь этим соотношением, уравнение (П1) можно переписать в виде

. (П2)

В соответствии с определением определителя уравнение представляет собой полином степени , поэтому уравнение должно иметь ровно корней. Для начала поищем их на интервале . В этом случае определитель может быть записан как

. (П3)

Параметр в (П3) связан с параметром соотношением , .

Подставляя это выражение в уравнение (П2), последнее можно привести к виду

. (П4)

Теперь вспомним, что на самом то деле матрица имеет размерность . Подставляя в (П4) , получаем следующее выражение для корней этого уравнения :

. (П5)

Из этой формулы следует, что все корней уравнения (П4) расположены на интервале , то есть в зоне. Поэтому искать их вне этой зоны, то есть при или при не имеет смысла – их там нет. Обратим внимание, что является корнем уравнения (П4), тогда как не является. В этой связи заметим также, что в формуле (19) основного текста используется параметр , который связан с другим соотношением: . По этой причине для формулы (19) основного текста нули определителя матрицы определяются по-другому

. (П6)

Таким образом, на языке параметра , используемого в формуле (19) основного текста, число входит в число нулей определителя системы уравнений (11), а ноль нет. Именно поэтому выражение (19) основного текста при имеет особенность, а при нет.

Дата добавления: 2015-10-24