Решение модели.

Прежде, чем решать эту систему уравнений, рассмотрим частный случай, когда расстояние до следующего за ближайшим соседа совпадает с точкой перегиба потенциала . Тогда из первого и последнего уравнений (6) следует

, (7)

а из остальных уравнений (6) следует, что . Таким образом, случай соответствует однослойной релаксации. Поскольку для нашего простого потенциала справедливы соотношения и , то , то есть при однослойной релаксации поверхностный атомный слой оказывается оттянутым от внутренних атомных слоев. Из системы уравнений (6) также следует, что если пренебречь взаимодействием со следующими за ближайшими атомами, то, как уже показывалось выше, явление межплоскостной релаксации не реализуется: .

Теперь рассмотрим случай . Разделив все уравнения в (6) на и введя обозначения

,

систему уравнений (6) можно записать в виде

(8)

где , а – трехдиагональная симметричная матрица Якоби размерности с действительными матричными элементами, определяемая выражением

. (9)

Конечно, решение уравнения (8) очевидно:

, (10)

но искать явное выражение для всех матричных элементов обратной матрицы – это довольно сложная алгебраическая процедура. Поэтому поступим следующим образом. Запишем систему уравнений на отклонения в развернутом виде

(11.1)

(11.2)

(11.3)

Для решения системы уравнений (11) найдем сначала общее решение рекуррентного уравнения (11.2). Подстановка в (11.2) приводит к квадратному уравнению на параметр .

(12)

Общее решение рекуррентного уравнения (11.1) имеет вид

(13)

Здесь и – произвольные константы. Решение системы уравнений (11) также имеет вид (13), если коэффициенты и подобраны так, что выполняются «граничные условия» (11.1) и (11.3).

Решение системы уравнений (11) указанным выше способом приводит к довольно громоздкому выражению для как функции параметра . Однако, если перейти от параметра к другому параметру, то решение системы уравнений (11) можно записать достаточно компактно. Вид решения системы уравнений (11) зависит от того, в каком интервале лежит параметр . Этих интервалов три: над зоной , под зоной и внутри зоны . Ниже рассматриваются эти три случая.

Над зоной

1) При положим . Тогда . В этом случае решение системы уравнений (11) имеет вид

(15)

Из этой формулы следует, что , то есть зависимость от индекса – четная относительно середины пленки. Этого следовало ожидать, так как пленка, которую мы рассматриваем, симметричная, поскольку у нее одинаковые поверхности. Предел при , то есть при , зависит от того, четно или нечетно . Если четное, то при все стремятся к бесконечности, то есть предела нет, если же нечетное, то стремятся к величине .

В предельном случае полубесконечного кристалла формула (15) преобразуется к виду

(16)

Из этой формулы видно, что в рассматриваемом случае реализуется осциллирующая межплоскостная релаксация, – меняет знак с номером слоем и экспоненциально убывает до нуля при . Глубина проникновения осциллирующей межплоскостной релаксации определяется как . Из этой оценочной формулы следует, что при глубина проникновения стремится к бесконечности. При этом величины отклонений неограниченно увеличиваются независимо от четности или нечетности . Таким образом, в отношении формулы (15) можно утверждать, что результат зависит от порядка вычисления пределов и .

Используя выражение (16), можно вычислить сумму всех

. (17)

Из (17) следует, что при суммарное отклонение увеличивается и стремится к бесконечности. Для простого потенциала , рассматриваемого в настоящей работе (см. Рис. 1), в выражении для параметра числитель положителен, а знаменатель может иметь любой знак. Поэтому суммарное отклонение, определяемое формулой (17), также может иметь любой знак.

Внутри зоны.

2) При положим . Тогда .

В этом случае решение системы уравнений (11) имеет вид

. (18)

Из этой формулы следует, что , то есть зависимость от индекса – четная относительно середины пленки. Сравнение (18) и (15) показывает, что выражение (18) может быть получено из (15) заменой гиперболических синусов на тригонометрические. Особенно простой вид выражение (18) приобретает, если перейти к новому параметру , который связан с параметром соотношением .

.

После некоторых преобразований эта формула может быть преобразована к виду

. (19)

Из формулы (19) видно, что в рассматриваемом случае межплоскостная релаксация представляет собой незатухающую волну концентрационной плотности пронизывающую всю пленку по толщине насквозь.

Нули знаменателя в формуле (19) – это нули определителя системы уравнений (11). Их штук: , , . Как видно из этих формул, все расположены на оси в интервале . Заметим, что ноль не входит в этот интервал, так как минимальное значение равно , а входит. На оси все нули определителя системы уравнений (1) расположены в интервале . Причем не является нулем определителя системы уравнений (11), – это ноль определителя системы уравнений (11). С этим связаны следующие предельные соотношения.

Предел , формулы (18) и (19), при , то есть при равен . Предел при , то есть при зависит от четности . При четном этот предел равен бесконечности, при нечетном он равен . Таким образом, пределы при , формула (18) и при , формула (15), совпадают друг с другом, как при четном, так и при нечетном значении . Все это вызвано тем, что при определитель системы уравнений (11) равен нулю.

Под зоной.

3) При положим . Тогда . В этом случае решение системы уравнений (11) имеет вид

. (20)

Из этой формулы следует, что , то есть зависимость от индекса – четная относительно середины пленки. В предельном случае полубесконечного кристалла формула (20) преобразуется к виду

. (21)

Из этой формулы видно, что в рассматриваемом случае реализуется монотонная межплоскостная релаксация, – величина не меняет знак при изменении номера слоя и экспоненциально стремится к нулю при . Глубина проникновения монотонной межплоскостной релаксации определяется формулой . Из нее следует, что при стремится к бесконечности. При величины отклонений стремятся к одному и тому же значению, равному . Заметим, что этот результат не зависит от того, в какой формуле, (20) или (21) устремлять , то есть в данном конкретном случае результат не зависит от порядка вычисления пределов или .

Используя выражение (21), можно вычислить сумму всех

. (22)

Выражение (22) отличается от аналогичного выражения (17) знаком

Дата добавления: 2015-10-24