Формулировка модели.

Понятно, что при описании межплоскостной релаксации на поверхностях металлов необходимо учитывать не только изменения координации в расположении атомов у поверхности, но и перераспределение электронной плотности, которое изменяет эффективные силы межатомного взаимодействия. Однако в рамках учебного пособия трудно указать простую модель релаксации металлической поверхности, которая позволила бы провести все вычисления прямо здесь без компьютера, но была бы достаточно богатой, то есть способной представить в качестве решения все три типа межплоскостной релаксации, упомянутые выше. Поэтому, преследуя лишь цель проиллюстрировать эффект межплоскостной релаксации в рамках простой модели, будем игнорировать перераспределение электронной плотности вблизи поверхности. Такого рода модель имеет отношение, видимо, лишь к релаксации поверхностей кристаллов инертных газов. Однако она красива и полезна, так как, во-первых, способна в качестве результата преподнести практически любой из перечисленных выше видов релаксаций, наблюдаемых экспериментально. Во-вторых, математический аппарат, используемый при ее решении, будет использоваться нами и при описании других эффектов на поверхности. И, наконец, эта модель может служить отправной точкой при построении более сложных моделей, учитывающих перераспределение заряда вблизи поверхности, где успехов пока мало

x

V(x)

a

x=a+D<a

2x

Рис.1. Расположение точек и на типичной потенциальной кривой.

Для иллюстрации этого эффекта рассмотрим одномерную цепочку атомов, взаимодействующих по закону , имеющему вид стандартного потенциала с ямой при : при , при , при (см. Рис. 1). При этом мы сделаем еще одно допущение, которое позволит нам решить задачу о межплоскостной релаксации в рамках более простого формализма. Именно, мы предположим, что потенциал взаимодействия атома в цепочке с ближайшим соседним атомом имеет точно такой же вид, как и потенциал взаимодействия этого атома со следующим за ближайшим атомом. Это допущение трудно обосновать, поскольку, раз уж мы пренебрегли электронной подсистемой, то атомы взаимодействуют посредством сил ванн-дер-Ваальса. Этот механизм взаимодействия в случае двух атомов приводит к одному потенциалу (зависимости потенциальной энергии от расстояния), а в случае трех атомов к другому. Мы намеренно упрощаем задачу, полагая, что оба потенциала имеют один и тот же вид . Задача о межплоскостной релаксации с учетом различия потенциалов взаимодействия данного атома с ближайшим атомом и с атомом, следующим за ближайшим, а также с учетом электронной подсистемы решена в статье Э.Л.Нагаева (ЖЭТФ 1992 г.).

При учете взаимодействия только между ближайшими соседями все соседние атомы, очевидно, должны находиться на расстоянии друг от друга, поскольку это соответствует минимуму суммарной энергии взаимодействия атомов в цепочке. Поэтому для описания межплоскостной релаксации необходимо учитывать взаимодействие каждого атома также и со следующими за ближайшими соседями. Тогда равновесное расстояние между атомами в бесконечной цепочке, имитирующей кристалл без поверхности, должно быть, очевидно, меньше . Это связано с тем, что при потенциал имеет притягательный характер. Действительно, обозначив отличие от через , разложим выражение для энергии взаимодействия атомов в цепочке по в точке :

(1)

С учетом из необходимого условия минимума энергии получаем из (1)

откуда

. (2)

Требование устойчивости, , с учетом соотношений (1) дает

.

Поскольку для нашего простого потенциала справедливо неравенство , то из (2) следует и так очевидный результат: . Это означает, что рассматриваемого здесь простого потенциала учет взаимодействия атомов со следующими за ближайшими атомами приводит к сжатию цепочки.

Рассмотрим теперь снова объемный случай, но энергию цепочки будем раскладывать в ряд уже около равновесного значения параметра цепочки по малому отклонению от него, которое обозначим . Тогда приращение энергии цепочки, вызванное отклонением параметра решетки от равновесного значения, можно записать в виде:

Из условия минимума получаем соотношение

. (3)

Это соотношение является уравнением на параметр решетки в цепочке для заданного потенциала . Требование устойчивости, , дает дополнительное ограничение на значения корней уравнения (3)

(4)

Соотношения (3) и (4) потребуются нам в дальнейшем при анализе состояния полубесконечной цепочки. Следует иметь в виду, что соотношения (3) и (4) получены в предположении однородного распределения атомов, то есть расстояние между всеми соседними атомами во всем кристалле полагалось одинаковым. Однако это еще не факт: даже при одинаковом потенциале взаимодействия между всеми соседними атомами в кристалле вполне возможно образование волны концентрационной плотности. В такой волне расстояние между соседними атомами меняется с номером атомного слоя сквозь весь кристалл. Мы здесь, однако, ограничимся рассмотрением случая однородного распределения атомов по объему кристалла. Иными словами мы полагаем, что в глубине кристалла вдали от поверхности существует только одно значение расстояния между атомными плоскостями.

……………………..

L-1

L

d_1,2

d_2,3

d_3,4

d_L-1,L

d_k,k+1 = x + δ_k

Рис. 2

Рассмотрим теперь конечную цепочку из атомов и обозначим отклонение межатомных расстояний от объемного значения через , то есть , и т.д.. Здесь – расстояние между -ой и -ой атомными плоскостями (см. рис.2). Наша задача состоит в нахождении величин и анализе их поведения в зависимости от характера потенциала и номера атомного слоя . При подсчете суммарной энергии взаимодействия всех атомов в цепочке удобно следовать следующей простой схеме: сначала учтем энергию взаимодействия первого атома со вторым и третьим, затем второго атома с третьим и четвертым и т. д.. Последним при такой схеме учета взаимодействий атомов в цепочке будет взаимодействие предпоследнего атома с последним. Очевидно, что таким образом мы перебираем все связи в цепочке.

………….. (5)

Суммарная энергия всех взаимодействий в цепочке из атомов есть функция неизвестных: . Раскладывая энергию цепочки в ряд по всем в ряд до квадратичных слагаемых и приравнивая первую производную по каждому из нулю, получаем следующую систему из линейных уравнений на неизвестных . С учетом соотношения (3) эта система может быть записана в виде

………………………….. (6)

Дата добавления: 2015-10-24