Сборник примеров и задач по метрологии 1 страница

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА В г. ТАГАНРОГЕ

Кафедра автоматизированных систем научных исследований и экспериментов

Сборник примеров и задач по метрологии

Таганрог 2007 г.

Введение

Данное учебное пособие содержит краткие теоретические сведения по основным разделам метрологии: международная система единиц, погрешности результатов и средств измерений, случайные погрешности и обработка результатов измерения, оценка погрешности косвенных измерений, методы нормирования погрешностей средств измерений. Приводятся основные определения и формулы, необходимые для решения задач. Типовые задачи снабжены пояснениями и развернутыми решениями; остальные задачи снабжены ответами для контроля правильности решения. Все физические величины задаются в международной системе единиц (СИ).

При решении задач необходимо выписывать формулы в буквенном выражении, подставлять в них числовые значения и после вычислений привести окончательный результат с указанием погрешности и единиц измерения.

Учебное пособие предназначено для проведения практических занятий по курсу «Метрология» и других дисциплин, содержащих разделы метрологического обеспечения.

1. Международная система единиц (СИ)

1.1. Основные сведения

С 1 января 1982 года в нашей стране введен в действие ГОСТ 8.417-81 «ГСИ. Единицы физических величин», в соответствии с которым осуществлен переход на Международную систему единиц (СИ) во всех областях науки, техники, народного хозяйства, а также в учебном процессе во всех учебных заведениях.

Международная система СИ содержит семь основных единиц для измерения следующих величин:

- длинна: метр (м),

- масса: килограмм (кг),

- время: секунда (с),

- сила электрического тока: ампер (А),

- термодинамическая температура: кельвин (К),

- сила света: кандела (кд),

- количество вещества: моль (моль).

Производные единицы системы СИ (в количестве более 130) образуются с помощью простейших уравнений между величинами (определяющих уравнений), в которых числовые коэффициенты равны единице. Наряду с основными и производными единицами система СИ допускает использование десятичных кратных и дольных единиц, образованных умножением исходных единиц СИ на число 10ⁿ, где n может быть положительным или отрицательным целым числом.

1.2. Задачи и примеры

1.2.1. Как выразится единица электрического напряжения (вольт, В) через основные единицы системы СИ? [9]

Решение. Воспользуемся следующим уравнением для напряжения , где Р – мощность, выделяющаяся на участке цепи при протекании в ней тока I. Следовательно, 1 В – это электрическое напряжение, вызывающее в электрической цепи постоянный ток силой в 1 А при мощности в 1 Вт. Дальнейшие преобразования:

Таким образом получим соотношение, в котором все величины выражаются через основные единицы системы СИ. Следовательно, .

1.2.2. Как выражается единица электрической емкости (фарад, Ф) через основные единицы системы СИ?

Ответ:

1.2.3. Как выражается единица электрической проводимости (сименс, См) через основные единицы системы СИ?

Ответ:

1.2.4. Как выражается единица измерения удельного электрического сопротивления () через основные единицы системы СИ?

Ответ:

1.2.5. Как выражается единица измерения электрической индуктивности (генри, Гн) через основные единицы системы СИ?

Ответ:

1.2.6. Как выражается единица магнитной индукции (тесла, Тл) через основные единицы системы СИ?

Ответ: 1Тл = 1кг

1.2.7. Размерность физической величины Х записана в виде формулы размерности через прописные буквы L, M, T, I согласно международного стандарта [10]. Запишите выражение единиц этой величины через основные единицы системы СИ, укажите ее наименование и физическую величину, которая в ней измеряется.

Решение. При решении этой задачи удобно перейти от обозначений размерности к обозначениям физических величин в виде: длина. l, масса , время . Тогда .

Следовательно, данная физическая величина является давлением, единица измерения которой паскаль (Па).

1.2.8. Решите задачу, аналогичную 1.2.7., если .

Ответ: работа, энергия, джоуль (Дж).

1.2.9. Решите задачу, аналогичную 1.2.7., если .

Ответ: электрическое сопротивление, Ом.

1.2.10. 1.2.9. Решите задачу, аналогичную 1.2.7., если .

Ответ: магнитный поток, вебер (Вб).

1.2.11. 1.2.9. Решите задачу, аналогичную 1.2.7., если

Ответ: напряженность электрического поля, вольт на метр (В/м).

1.2.12. Заданные физические величины, выраженные во внесистемных единицах, запишите через основные единицы системы СИ: 16 суток, 5 угловых градусов, 20 С, 212 F (Фаренгейта).

Ответ: 1382400 с; 0,087 рад; 293,15 К; 373 К.

2. Виды измерений

2.1. Основные сведения

По способу получения числового значения измеряемой величины все измерения делят на прямые, косвенные, совокупные и совместные. [3]

Прямым называют измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных.

Косвенным измерением называют измерение, результат которого определяют на основании прямых измерений величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью.

Совокупными называют измерения, при которых проводятся одновременно измерения нескольких одноименных величин с определением искомой величины путем решения системы уравнений.

Совместными называют измерения, при которых одновременно проводятся измерения не одноименных физических величин с целью нахождения зависимости между ними.

2.2. Задачи и примеры

2.2.1. Отрезок проволоки длиной l = 1м и диаметром d = 0,1мм имеет электрическое сопротивление R = 51 Ом. Из какого материала сделана проволока и к какому виду относятся эти измерения?

Решение. Сопротивление отрезка проволоки определяется соотношением , где - удельное электрическое сопротивление (постоянная для данного материала величина), l – длина проволоки, S – площадь поперечного сечения. Следовательно, для идентификации материала можно использовать значение его удельного сопротивления.

Определим площадь поперечного сечения:

Тогда удельное сопротивление будет равно:

.

Материал с таким значением удельного электрического сопротивления является манганин. Исходные параметры отрезка проволоки были измерены с помощью прямых измерений, а неизвестная величина – с помощью известной функциональной зависимости. Следовательно, в этом случае применялся косвенный вид измерений.

2.2.2. Для идентификации материала, из которого сделан цилиндр, штангенциркулем измерим его диаметр d = 1 см и высоту h = 5 см. Из какого материала сделан цилиндр, если его масса, определенная взвешиванием, оказалась равной m = 0,0349 кг? К какому виду относятся эти измерения?

Ответ: , медь.

2.2.3. Для определения коэффициента взаимоиндуктивности М двух катушек была измерена индуктивность при согласном L c=25мГн и встречном включении L в = 1 мГн катушек. Чему равен коэффициент взаимоиндуктивности и к какому виду относятся эти измерения?

Ответ: М = 6 мГн.

2.2.4. Для определения сопротивления обмоток электродвигателя, включенных звездой (рис. 2.1), были измерены сопротивления между зажимами обмоток .

Рис. 2.1

Чему равны сопротивления обмоток и к какому виду относятся эти измерения?

Ответ: .

2.2.5. Для определения емкостей конденсаторов С₁ и С₂ они были включены последовательно, потом – параллельно. При последовательном включении был получен результат С_пос = 2 мкФ, при параллельном – С_пар = 8 мкФ. Чему равны емкости конденсаторов С₁ и С₂ и к какому виду относятся эти измерения?

Ответ: С₁ = С₂ = 4 мкФ.

2.2.6. Для определения сопротивления R₁ и R₂ измерили сопротивление при их последовательном R_пос = 10 кОм и при параллельном R_пар = 2,5 кОм включении. Чему равны сопротивления R₁ и R₂ и к какому виду относятся эти измерения?

Ответ: R₁ = R₂ = 5 кОм.

2.2.7. При нагревании сопротивление металлического резистора определяется соотношением , где R ₀ – сопротивление при , - температурный коэффициент сопротивления. Сопротивление резистора было измерено при двух температурах: - и получены значения сопротивлений резистора Ом, Ом. Определите параметры резистора R ₀ и , установите материал, из которого изготовлен резистор, и укажите, к какому виду относятся эти измерения?

Ответ: R ₀ = 50 Ом; ; медь.

2.2.8. ТермоЭДС, возникающая в спае медь-свинец, определяется соотношением: , где - температура нагретого спая (свободные концы находятся при температуре С). Для определения коэффициентов А и В были измерены термоЭДС при двух температурах: С и С, - и получены значения е₁ = 57,6 мкВ, е₂ = 336 мкВ. Чему равны коэффициенты А и В и к какому виду относятся эти измерения?

Ответ: А = 2,76 мкв/ С; В = мкВ/ С²

2.2.9. Решите задачу, аналогичную 2.2.8. при следующих условиях: спай – цинк-свинец, е₁ = 29,5 мкВ при С и е₂ = 180 мкВ при С.

Ответ: А = 3,05 мкв/ С; В = -0,01 мкВ/ С².

2.2.10. При нагревании сопротивление термистора изменяется по закону , где А и В – постоянные коэффициенты, Т – абсолютная температура, К. Было измерено сопротивление термистора: при температуре С R ₁ = 5 кОм и при температуре С R ₂ = 0,676 кОм. Определите параметры термистора А и В и на основании их установить его тип. К какому виду относятся эти изменения?

Ответ: А = 293 мкОм; В = 4880 К; КМТ – 8.

2.2.11. Решите задачу, аналогичную 2.2.10. при значениях R ₁ = 100 Ом при С, R ₂ = 11,2 Ом при С.

Ответ: А = 3,69 мОм; В = 2991 К; ММТ-9.

3. Погрешность измерений

3.1. Основные сведения

Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины (МИ 2247-93). Погрешности измерений определяются, главным образом, погрешностями средств измерений (СрИз), но это понятия не идентичные [2].

По месту возникновения различают инструментальные погрешности и методические. Инструментальными погрешностями СрИз называют такие, которые принадлежат данному средству измерений и возникают вследствие недостаточно высокого качества его элементов. Методические погрешности связаны не с самим средством измерений, а с методом проведения измерений. Причинами появления методических погрешностей являются также неточности соотношений, используемых для нахождения оценки измеряемой величины [3].

Статические и динамические погрешности, присущие как средствам, так и методам измерений, различают по их зависимости от скорости изменения измеряемой величины во времени. Погрешности, не зависящие от этой скорости, называются статическими. Погрешности же отсутствующие, когда эта скорость близка к нулю, и возрастающие при ее отклонении от нуля, называются динамическими. Динамической погрешностью средства измерения является разность между погрешностью средства измерения в динамических условиях и его статической погрешностью, соответствующей значению величины в данный момент времени.

В зависимости от характера изменения, возможностей устранения и причин возникновения различают систематические, прогрессивные и случайные погрешности.

Систематическими называют погрешности измерений, остающиеся постоянными или закономерно изменяющиеся при повторных измерениях одной и той же величины.

Прогрессивными называются погрешности, медленно изменяющиеся во времени.

Случайными называются погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. При этом процесс появления случайных погрешностей средств и результатов измерений за вычетом систематических и прогрессивных погрешностей обычно может рассматриваться как центрированный стационарный случайный процесс.

В зависимости от формы выражения различают абсолютную и относительную погрешности измерений.

Абсолютной погрешностью () называют разность между измеренным и истинным (действительным) значением измеряемой величины.

, (3.1)

где Х – результат измерения;

Х _ист – истинное значение измеряемой величины;

Х _Д – действительное значение измеряемой величины.

Относительная погрешность измерения () представляет собой отношение абсолютной погрешности измерения к истинному (действительному) значению измеряемой величины и выражается в процентах или долях измеряемой величины.

(3.2)

3.2. Задачи и примеры

3.2.1. Для измерения ЭДС Е = 2,5 В источника с внутренним сопротивлением R ₀ = 10 Ом использован вольтметр с внутренним сопротивлением R _v = 1000 Ом. Определите абсолютную и относительную погрешности метода измерения.

Рис. 3.1

Решение. Показания вольтметра, согласно рис. 3.1, равны . Следовательно, при этом возникает методическая погрешность, абсолютное значение которой согласно формуле (3.1) равно:

Относительная погрешность метода из формулы (3.2):

3.2.2. Определите относительную погрешность метода измерения ЭДС датчика рН-метра электронным вольтметром постоянного тока с входным сопротивлением R _V = 10 Мом. Датчик представляет собой генератор ЭДС с внутренним сопротивлением R ₀= 2 МОм.

Ответ: .

3.2.3. Электрическая цепь состоит из последовательного включенных источника ЭДС Е = 100 мВ и резистора с сопротивлением R = 100 Ом. Для измерения тока в цепь включены миллиамперметр с внутренним сопротивлением R _A = 7,5 Ом. Определите относительную и абсолютную погрешности метода измерения, вызванную включением миллиамперметра. Нарисуйте схему измерения.

Ответ: мА; .

3.2.4. При косвенном измерении сопротивления R_x постоянному току (рис. 3.2) получены показания амперметра I _А = 130,4 мА и вольтметра U _V = 52,3 В. Определите относительную и абсолютную погрешности метода,

Рис. 3.2 Рис. 3.3

если вольтметр имеет входное сопротивление R _V = 10 кОм.

Ответ: ; Ом.

3.2.5. При косвенном измерении сопротивления постоянному току R_x (рис. 3.3) показания амперметра и вольтметра соответственно равны I_А = 345 мА, U_v = 5,45 В. Определите абсолютную и относительную погрешности метода, если амперметр имеет сопротивление R_A = 0,35 Ом.

Ответ: ; Ом.

3.2.6. При косвенном измерении мощности P _x, потребляемой нагрузкой R _x на постоянном токе, используется схема рис. 3.2. Показания приборов, полученные при измерении: U _V = 34,5 В, I _A = 210 мА. Определите абсолютную и относительную погрешности метода, если сопротивления приборов соответственно равны: вольтметра R _V= 4000 Ом, амперметра R _A = 2,5 Ом.

Решение. Приближенное значение потребляемой мощности будет равно

Вт

Этот результат будет содержать методическую погрешность, вызванную потреблением мощности вольтметром, абсолютное значение которой будет равно

, где

Следовательно,

Вт.

Относительное значение методической погрешности будет равно

.

3.2.7. Решите задачу, аналогичную 3.2.6. при условии, что для измерения используется схема рис. 3.3.

Ответ: ; Вт.

3.2.8. Необходимо измерить сопротивление R_Х = 10 Ом с помощью вольтметра с сопротивлением R _V = 100 Ом и амперметра с сопротивлением R _A = 1 Ом. Какую схему (рис. 3.2, рис. 3.3) нужно выбрать, чтобы получить меньшую погрешность метода?

Ответ: схему рис. 3.2.

3.2.9. Сопротивление R измеряется косвенным методом с помощью ваттметра и вольтметра в соответствии с зависимостью (рис. 3.4).

Рис. 3.4 Рис. 3.5

Определите погрешность метода и исключите ее, если показание вольтметра P _w = 100 Вт, вольтметра U _v = 150 В, входное сопротивление вольтметра R _v = 2000 Ом. Сопротивление токовой катушки вольтметра , катушки напряжения .

Ответ: ; Ом; R_x = 250 Ом.

3.2.10. Сопротивление R измеряется косвенным методом с помощью вольтметра и амперметра (рис. 3.5) в соответствии с зависимостью . Определите погрешность метода и исключите ее, если показание вольтметра P_W = 100 Вт, амперметра I _A = 1 A, сопротивление амперметра R _A = 1 Ом. Сопротивление токовой катушки вольтметра , катушки напряжения .

Ответ: ; Ом; R_x = 99 Ом

3.2.11. Измерительный преобразователь представляет собой апериодическое звено. Какую он должен иметь постоянную времени Т, чтобы через время установления t _уст = 2,3 с относительное значение динамической погрешности было не более ?

Ответ: Т = 1 с.

3.2.12. После включения измерительного генератора гармонических колебаний в сеть, частота его колебаний измеряется по закону , где кГц – номинальное значение частоты генератора, считываемое с его шкалы; кГц – значение частоты в момент включения; Т = 5 мин – тепловая постоянная времени. Определите необходимое время прогрева, если допустимая погрешность установки частоты .

Ответ: мин

4. Случайные погрешности и обработка результатов измерений

4.1. Основные сведения

4.1.1. При выполнении измерений случайные и систематические погрешности появляются одновременно, поэтому погрешность измерения следует рассматривать как случайную величину, где систематическая погрешность есть математическое ожидание этой величины, а случайная погрешность - центрированная случайная величина [1].

4.1.2. Полным описанием случайных погрешностей являются законы их распределения: интегральный и дифференциальный , связь между которыми имеет следующий вид:

и

4.1.3. Числовые характеристики (моменты) закона распределения – это математическое ожидание M [ ] и дисперсия D [ ], которые определяются по формулам:

, (4.1)

(4.2)

Средняя квадратическая погрешность определяется по формуле

(4.3)

Вероятность попадания погрешности в интервал () определяется по формулам

(4.4)

4.1.4. На практике наиболее часто встречаются следующие законы распределения: закон равномерной плотности, треугольный закон, нормальный закон и распределение Стьюдента.

Закон равномерной плотности имеет следующие числовые характеристики:

(4.5)

Числовые характеристики треугольного закона распределения:

(4.6)

В формулах (4.5), (4.6) и - границы закона распределения.

Нормальный закон распределения описывается формулой (4.7).

(4.7)

Для практического применения нормального закона необходимо принять какое-то значение измеряемой величин за истинное. В качестве такого значения принимается среднее арифметическое значение ряда измерений величины Х, полученное из формулы

Дата добавления: 2015-10-02