Сборник примеров и задач по метрологии 2 страница

, (4.8)

где - среднее арифметическое ряда измерений (математическое ожидание), X_i – i -й результат измеряемой величины из ряда (выборки) X ₁, X ₂,…, X_n, n – число измерений в ряде (объем выборки).

Тогда средняя квадратическая погрешность (СКП) измерения определяется формулой Бесселя

, (4.9)

где - остаточная погршеность.

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического

(4.10)

Оценки , , называются точечными.

На практике обычно используются интервальные оценки в виде доверительной вероятности и доверительных границ погрешности (доверительного интервала). Для нормального закона доверительная вероятность P(t) определяется с помощью интеграла вероятности Ф(t) (4.11) (функция табулизирована)

, (4.11)

где - кратность случайной погрешности, - доверительный интервал.

Зная доверительные границы и , можно определить доверительную вероятность

(4.12)

Если доверительные границы и симметричны, т.е. , то и .

(4.13)

При малом числе измерений в ряде () используется распределение Стьюдента.

Плотность вероятности зависит от значения случайной погрешности и числа измерений в ряде n, т.е. . Доверительные границы Е в этом случае определяются

, (4.14)

где - коэффициент Стьюдента (определяется из таблицы III приложения).

Доверительная граница и доверительная вероятность также зависит от числа измерений.

4.1.5. При статистической обработке результатов наблюдений выполняются следующие операции.

1. Исключение систематических погрешностей, введение поправок.

2. Вычисление среднего арифметического исправленных результатов наблюдений, которое принимается за оценку истинного значения измеряемой величины (формула 4.8).

3. Вычисление оценки СКП измерений () и среднего арифметического измерения () (формулы 4.9, 4.10).

4. Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов наблюдений.

5. Вычисление доверительных границ случайной погрешности результата измерения при доверительной вероятности 0,95 или 0,99 (формула 4.14).

6. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерений.

7. Вычисление доверительных границ погрешности результата измерения.

8. Запись результата измерений.

4.1.6. Проверка гипотезы о нормальности распределения осуществляется по критерию (Пирсона) или (Мизеса-Смирнова), если ; по составному критерию, если . При нормальность распределения не проверяется.

Если результаты наблюдений распределены нормально, то определяется наличие промахов. В таблице IV приложения указаны предельные значения коэффициента для различных значений теоретической вероятности появления большой ошибки, которую обычно называют уровнем значимости , при определенном объеме выборки. Процедура обнаружения промахов заключается в следующем. Строится вариационный ряд из результатов наблюдений . Определяется среднее арифметическое выборки () и СКП выборки (). Затем вычисляют коэффициенты

(4.15)

Полученные значения и сравнивают с для заданного уровня значимости q при заданном объеме выборки. Если или , то данный результат является промахом и должен быть отброшен.

4.1.7. Проверка согласия экспериментального распределения нормальному с помощью составного критерия осуществляется следующим образом. Выбирается уровень значимости q в пределах от 0,02 до 0,1.

Критерий 1. Производится сравнение вычисляемой по опытным данным величины d с теоретическими точками распределения и (приведены в таблице V приложения) и соответствующие нормальному закону распределения при заданном уровне значимости q ₁ критерия 1.

Вычисление величины d производится по формуле

, (4.16)

где

Гипотеза о принадлежности данного ряда результатов наблюдений к нормальному закону распределений верна, если вычисленная величина d лежит в пределах

(4.17)

Критерий 2. Оценка по критерию 2 заключается в определении числа отклонений m_э экспериментальных значений t_эi от теоретического значения t _т для заданного уровня значимости q ₂. Для этого при заданных q ₂ и n находится параметр по данным из таблицы VI приложения.

Далее находится квантиль интегральной функции нормированного нормального распределения , которая определяется из таблицы II приложения для значения . Затем вычисляются экспериментальные значения

параметра по формуле (4.18)

Вычисленное значение сравнивается с теоретическим значением и подсчитывается число отклонений , для которых удовлетворяется неравенство . Значение сравнивается с теоретическим числом отклонений , которое находится из таблицы VI приложения. Если , то распределение данного ряда наблюдений не противоречит нормальному.

Если соблюдаются оба критерия, то данный ряд подчиняется нормальному распределению. При этом уровень значимости составного критерия принимается равным .

4.1.8. Определение границ неисключенной систематической погрешности осуществляется по формуле [8]

, (4.19)

где - граница i -й неисключенной систематической погрешности; - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью; при Р = 0,95 = 1,1.

В качестве границ неисключенной систематической погрешности можно принимать пределы допускаемых основной и дополнительной погрешностей средств измерений.

4.1.9. При вычислении доверительной границы погрешности результата определяют отношение . Если , то пренебрегают случайной погрешностью и принимают, что . Если , то границу погрешности находят путем суммирования случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины:

,

где К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешности;

- оценка СКП среднего арифметического.

, (4.20)

Границы случайной и систематической погрешностей нужно выбирать при одной и той же доверительной вероятности.

4.1.10. Результат измерения записывается в виде .

4.2. Задачи и примеры

4.2.1. Погрешность результата измерения напряжения распределена равномерно в интервале от В до В.

Рис. 4.1

Найдите систематическую погрешность результата измерения, среднюю квадратическую погрешность и вероятность того, что погрешность результата измерения лежит в пределах от В до В (рис. 4.1).

Решение. Систематическая погрешность равна математическому ожиданию, которое для равномерного закона распределения определяется формулами (4.1, 4.5).

В.

Средняя квадратическая погрешность определяется формулами (4.2, 4.3, 4.5).

В.

Вероятность попадания погрешности в заданный интервал определяется из соотношения (4.4).

,

где - высота закона распределений.

Следовательно, .

4.2.2. Погрешность результата измерения тока распределена равномерно с параметрами мА, мА. Определите границы интервала погрешности и (рис. 4.1).

Ответ: мА; мА.

4.2.3. Погрешность результата измерения напряжения распределена по равномерному закону с параметрами с = 0,25 1/В, мВ. Определите границы интервала погрешности и (рис. 4.1).

Ответ: В; В.

4.2.4. Погрешность результата измерения тока распределена равномерно в интервале от мА; мА. Найдите систематическую погрешность результата измерения , среднюю квадратическую погрешность и вероятность Р того, что погрешность результата измерения лежит в диапазоне от мА до мА.

Ответ: мА; мА; Р = 0,5.

4.2.5. Погрешность измерения мощности распределена по треугольному закону в интервале от Вт до Вт. Найдите систематическую погрешность результата измерения , среднюю квадратическую погрешность и вероятность Р того, что погрешность результата измерения лежит в пределах от до Вт. (формулы 4.4, 4.6).

Ответ: ; Вт; Р = 0,28.

4.2.6. Для закона распределения погрешностей измерения напряжения, показанного на рис. 4.2, определите систематическую погрешность , среднюю квадратическую погрешность , если В. Найдите вероятность Р того, что погрешность результата измерения лежит в пределах от до Вт.

Рис. 4.2

Ответ: В; В; Р = 0,25.

4.2.7. Для закона распределения погрешностей, показанного на рис. 4.3, определите систематическую погрешность и среднюю квадратическую погрешность результата измерения, если В, В. Найдите вероятность Р того, что результат измерения отличается от истинного значения не более, чем на В.

Рис. 4.3

Ответ: В; В; Р = 0,67.

4.2.8. Погрешность измерения напряжения распределена по нормальному закону, причем систематическая погрешность равна нулю, а средняя квадратическая погрешность мВ. Найдите вероятность Р того, что результат измерения отличается от истинного значения не более, чем на мВ.

Решение. Воспользуемся формулой (4.13).

.

Для нашего случая:

Следовательно, вероятность того, что результат измерения отличается от истинного значения, равна 0,98.

4.2.9. Результат измерения тока содержит случайную погрешность, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим отклонением мА. Систематическая погрешность отсутствует. Какова вероятность q того, что погрешность превысит по абсолютной величине мА?

Ответ: .

4.2.10. Результат измерения мощности содержит случайную погрешность, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим отклонением мВт. Систематическая погрешность мВт. Найдите вероятность Р того, что результат измерения (неисправленный) превысит истинное значение мощности [6].

Ответ: Р = 0,31.

4.2.11. В результате поверки амперметра установлено, что 70% погрешностей результатов измерений, проведенных с его помощью, не превосходит мА. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, определите среднюю квадратическую погрешность .

Ответ: = 19 мА.

4.2.12. Контрольная поверка ЭДС нормального элемента показала, что 60% погрешностей не выходит за пределы мкВ. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону, определите среднюю квадратическую погрешность .

Ответ: мкВ.

4.2.13. В результате поверки амперметра установлено, что 80% погрешностей результатов измерений, проведенных с его помощью, не превосходит мА. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, найти вероятность Р того, что погрешность измерения превосходит мА.

Ответ: .

4.2.14. В задаче 4.2.13. найдите симметричный доверительный интервал, вероятность попадания в который Р = 0,5.

Ответ: мА.

4.2.15. В результате поверки амперметра установлено, что 70% погрешностей результатов измерений, проведенных с его помощью, не превосходит мА. Считая, что погрешности распределены по равномерному закону, найдите среднюю квадратическую погрешность .

Ответ: = 16,5 мА.

4.2.16. Предполагаемая дисперсия случайной погрешности частотомера была вычислена заранее и составила D = 100 Гц². Определите, сколько независимых измерений n нужно сделать, чтобы погрешность попала в доверительный симметричный интервал Гц с доверительной вероятностью Р = 0,955, считая закон распределения погрешностей нормальным [6]?

Решение. Вероятность того, что при одном измерении погрешность попадет в доверительный интервал, равна

,

где Гц.

Вероятность того, что погрешность превзойдет Гц, равна (1- Р) = (1-0,159) = 0,841.

При n независимых измерениях вероятность того, что погрешность превзойдет Гц, равна (1- Р) ⁿ = 0,841 ⁿ.

С другой стороны, эта вероятность должна быть не более 1-0,955 = 0,045.

Следовательно, . Отсюда

Таким образом, число измерений , так как число измерений n может быть только целым числом.

4.2.17. Погрешности результатов измерений, произведенных с помощью амперметра, распределены по нормальному закону с мА; систематическая погрешность отсутствует. Сколько n независимых измерений нужно сделать, чтобы хотя бы для одного из них погрешность не превосходила мА с вероятностью Р = 0,95?

Ответ: .

4.2.18. Погрешность результата измерения тока распределена по нормальному закону. Значения случайных погрешностей мА, мА, среднее квадратическое отклонение мА. Определите вероятность выхода погрешности за границы доверительного интервала q для двух случаев:

1. систематическая погрешность ;

2. систематическая погрешность мА.

Решение. Определим границу доверительного интервала: при отсутствии систематической погрешности мА; при наличии систематической погрешности мА, мА.

Найдем вероятность нахождения случайной погрешности в границах доверительного интервала:

1. при отсутствии систематической погрешности воспользуемся формулой (4.13)

;

2. при наличии систематической погрешности воспользуемся формулой (4.12)

Следовательно, вероятность выхода погрешности за границы доверительного интервала:

1. q = 1 - 0,988 = 0,012; 2. q = 1 - 0,894 = 0,106.

4.2.19. Погрешность измерения сопротивления распределена по нормальному закону, причем средняя квадратическая погрешность Ом. Найдите вероятность того, что результат измерения сопротивления отличается от истинного значения сопротивления не более чем на 0,07 Ом, если:

1. систематическая погрешность ;

2. систематическая погрешность Ом.

Ответ: Р ₁ = 0,92; Р ₂ = 0,882.

4.2.20. Погрешность результата измерения напряжения распределена по нормальному закону со средней квадратической погрешностью мВ. Доверительные границы погрешности мВ. Определите вероятность того, что погрешность не выйдет за границы доверительного интервала для двух случаев:

1. систематическая погрешность отсутствует;

2. систематическая погрешность мВ.

Ответ: 1. Р = 0,988; 2. Р = 0,894.

4.2.21. Для известного числа измерений величины Х получены соответственно значения среднего арифметического и средняя квадратическая погрешность (СКП) . Определите вероятность Р того, что случайная погрешность отдельного измерения Х_i не выходит за пределы доверительного интервала , т.е. имеет место неравенство при нормальном законе распределения погрешностей.

Дата добавления: 2015-10-02