Сборник примеров и задач по метрологии 3 страница

Ответ: Р = 0,31.

4.2.22. Запишите закон распределения погрешностей, получаемый при суммировании пяти независимых составляющих с параметрами: математическое ожидание М ₁ = 1 В, М ₂ = -2 В, М ₃ = 3 В, М ₄ = -1 В, М ₅ = -2 В; средние квадратические погрешности (СКП) В, В, В, В, В.

Ответ: , 1/В.

4.2.23. Запишите закон распределения погрешностей, если СКП распределения В, математическое ожидание М = 2 В. Известно, что большие и малые погрешности встречаются одинаково часто.

Ответ:

4.2.24. Для заданного закона распределения определите математическое ожидание и дисперсию :

Ответ: В; В².

4.2.25. Решите задачу, аналогичную 4.2.24, если:

, 1/В

Ответ: В; В².

4.2.26. Частота сигнала измерялась 16 раз, среднее арифметическое значение параметра, вычисленного по ряду наблюдений кГц, среднее квадратическое отклонение среднего арифметического составило кГц. Определите доверительную вероятность по нормальному закону и распределению Стьюдента, если границы доверительного интервала в процентном отношении от среднего арифметического установлены .

Решение. Переведем значения границ доверительного интервала в абсолютные значения кГц или кГц. Доверительная вероятность при нормальном законе распределения определится по формуле (4.13) и таблице I приложения с учетом:

кГц

.

Доверительная вероятность при распределении Стьюдента определяется из найденного значения коэффициента Стьюдента , числа измерений n = 16 и таблицы III приложения, используя принцип линейной интерполяции между соседними значениями:

4.2.27. Решите задачу, аналогичную 4.2.26, если границы доверительного интервала , .

Ответ: .

4.2.28. Для n = 16 измерений среднее арифметическое значение измеренного напряжения , а оценка среднего квадратического отклонения В. Определите доверительную вероятность , если отличается от истинного значения на величину доверительного интервала и имеет место неравенство () В.

Ответ: .

4.2.29. Шестикратное (n = 6) измерение сопротивления дало следующие результаты R_i, Ом: 723,61; 723,57; 723,52; 723,46; 723,44; 723,40. Определите среднее арифметическое значение измеренного сопротивления и доверительный интервал случайной погрешности при доверительной вероятности . Запишите результат измерения (формулы 4.8, 4.9, 4.10, 4.14).

Ответ: Ом; .

4.2.30. Получено пять результатов измерения напряжения: 180; 182; 183; 184; 196, В. Считая, что результаты измерений распределены нормально, проанализируйте ряд на наличие промаха при уровне значимости (см. п. 4.16, формула 4.14).

Ответ: ряд содержит промах.

4.2.31. Решите задачу, аналогичную 4.2.30, для следующих результатов измерения напряжения: 178; 180; 184; 186; 197, В.

Ответ: промахов нет.

4.2.32. При измерении силы тока были получены следующие результаты: 20,42; 20,43; 20,40; 20,43; 20,42; 20,43; 20,39; 20,30; 20,40; 20,43; 20,42; 20,41; 20,39; 20,40, мА. Определите, не содержит ли результат 8-го измерения мА грубой погрешности при доверительной вероятности Р = 0,95?

Ответ: содержит.

4.2.33. Проверьте гипотезу о нормальном распределении случайных погрешностей по результатам n = 16 независимых наблюдений тока используя составной критерий (см. п. 4.17, формулы 4.15, 4.16, 4.17). Уровень значимости . Результаты наблюдений приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

n

I, мА

Ответ: гипотеза о нормальном распределении принимается с уровнем значимости .

4.2.34. Проверьте гипотезу о нормальности распределения случайных погрешностей по результатам 19-ти независимых наблюдений напряжения. Результаты наблюдений приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

n
U i, мВ	18,305	18,308	18,311	18,309	18,304	18,306	18,310	18,303	18,308	18,306
n
U i, мВ	18,312	18,305	18,307	18,308	18,309	18,308	18,307	18,309	18,3010

Ответ: гипотеза о нормальном распределении принимается с уровнем значимости .

4.2.35. Для n = 16 измерений напряжения получено его среднее арифметическое значение В и оценка средней квадратической погрешности В. Измерения производились вольтметром, имеющим неисключенную систематическую погрешность В с доверительной вероятностью . Запишите результат измерения с учетом суммарной погрешности (см. п. 4.1.9, формулы 4.18, 4.19).

Ответ: В; .

4.2.36. Решите задачу 4.2.35 при условии, что В [5].

Ответ: В; .

4.2.38. Решите задачу 4.2.35 при условии что n = 16, В, В, В, .

Ответ: В; .

4.2.39. Для определения статистических параметров электронной схемы произведены следующие измерения напряжения с помощью цифрового вольтметра В7-16А, имеющего максимальное значение погрешности при измерениях мВ. Результаты наблюдений сведены в табл. 4.3. Значения уровней значимости: ; ; . Произведите полную статистическую обработку экспериментальных данных при доверительной вероятности (см. п. 4.15).

Таблица 4.3

n
U, мВ	754,7	754,8	754,2	754,9	754,1	753,1	752,8	754,9
n
U, мВ	757,8	754,3	756,2	750,9	753,9	754,0	758,1	751,2

Ответ: мВ; .

4.2.40. Решите задачу, аналогичную 4.2.39 при следующих исходных данных В, , , [5].

Таблица 4.4

n
U, В	9,15	9,00	8,85	9,05	9,10	9,15	8,89	8,70	8,90
n
U, В	9,10	9,40	9,00	9,20	8,70	8,90	9,02	8,98

Ответ: В; .

5. Оценка погрешности результата косвенных измерений

5.1. Основные сведения

5.1.1. При оценке погрешности результата косвенных измерений необходимо учитывать долю отдельных погрешностей аргументов в результирующей погрешности Y. Для этого используется метод частных производных

(5.1)

Полученные таким образом значения можно рассматривать как «веса», с которыми в суммарную абсолютную погрешность входят составляющие в идее абсолютных погрешностей измерения каждого (частные погрешности). Если погрешности аргументов заданы средними квадратическими погрешностями (СКП) аргументов, то аналогично .

Далее возникает задача суммирования частных погрешностей для получения результирующей погрешности косвенного измерения . При суммировании используется два метода:

1. Алгебраическое суммирование (5.2)

2. Геометрическое суммирование (5.3)

Для случая использования СКП абсолютных погрешностей аргументов и при отсутствии корреляционных связей между ними

; (5.4)

Если между частными погрешностями существует взаимосвязь (корреляция), то

(5.5)

где - коэффициент корреляции между СКП случайных погрешностей и аргументов.

5.1.2. Приведенные формулы учитывают только случайную составляющую погрешности прямых измерений аргументов. Если при этом имеется неисключенная систематическая погрешность , то ее заменяют эквивалентной случайной величиной, распределенной по равномерному закону. В этом случае

(5.6)

5.1.3. Для простейших функций Y метод частных производных приводит к простым соотношениям [7].

1. Функциональная связь представляет сумму или разность аргументов В этом случае

(5.7)

(5.8)

где a, b, c, … - постоянные коэффициенты

По полученным значениям абсолютных погрешностей определяются относительные погрешности

(5.9)

2. Функциональная связь представляет произведение или частное ,

где k – числовой коэффициент.

В этом случае

(5.10)

(5.11)

где - относительные погрешности аргументов.

Абсолютные погрешности определяются путем соответствующих пересчетов.

Эту методику можно использовать, если значения аргументов и их погрешности заданы через вероятностные характеристики (математическое ожидание и СКП).

5.2. Задачи и примеры

5.2.1. Определите величину и погрешность емкости блока, состоящего из десяти конденсаторов, величина и погрешности которых известны. Конденсаторы включены параллельно: 2 конденсатора по мкФ, 3 конденсатора по мкФ и 5 конденсаторов по мкФ [формулы 5.2, 5.3, 5.7, 5.8].

Ответ: мкФ; мкФ.

5.2.2. Определите величину и погрешность сопротивления двенадцати резисторов, включенных последовательно, величина и предельные погрешности которых известны: 2 резистора по Ом, 4 резистора по Ом, 6 резисторов по Ом.

Ответ: Ом; Ом.

5.2.3 на магазине сопротивлений КМС-4 набрано сопротивление 3455 Ом. Величина и предельные погрешности декад имеют следующие значения: Ом, Ом, Ом, Ом. Определите абсолютную погрешность сопротивления и запишите установленное значение сопротивления с учетом погрешности при алгебраическом и геометрическом суммировании.

Ответ: Ом; Ом.

5.2.4. Результат косвенного измерения записывается как , где ; ; ; . Средние квадратические погрешности аргументов . Определите результат измерения и его погрешность. (формулы 5.4, 5.9 – 5.11).

Ответ: .

5.2.5. Найдите значение электрической энергии и погрешность ее определения при алгебраическом и геометрическом суммировании, если по нагрузке кОм протекает ток мА в течение времени с.

Ответ: Дж; Дж.

5.2.6. Найдите значение емкости конденсатора и погрешность ее определения на основании измерения силы тока через него А с погрешностью , приложенного напряжения U = 150 В с погрешностью , частота Гц с погрешностью Гц. Запишите результат измерения, используя алгебраическое и геометрическое суммирование погрешностей.

Ответ: мкФ; мкФ.

5.2.7. Резонансная частота контура определяется по формуле . Полученные значения L = 25 мГн и С = 280 пФ измерены со средними квадратическими погрешностями мГн и пФ, которые не коррелированны. Определите среднюю квадратическую погрешность измерения частоты .

Ответ: Гц.

5.2.8. Измерение емкости производились методом замещения с помощью Q -метра по формуле , где пФ, которые известны с погрешностями пФ, пФ. Вычислите погрешность измерения емкости .

Решение. Результат измерения

. Погрешность измерения

пФ. Погрешность носит систематический характер и ее можно исключить:

пФ

5.2.9. Для условий задачи 5.2.8. вычислите среднюю квадратическую погрешность измерения емкости, если известны средние квадратические погрешности аргументов пФ, которые коррелированны с коэффициентом корреляции .

Ответ: пФ.

5.2.10. Мощность в нагрузке определяется по измеренным значениям тока I = 15 мА и напряжения U = 100 В. Известны средние квадратические погрешности (СКП) измерения тока мА и напряжения В, которые жестко коррелированны. Определите среднюю квадратическую погрешность измерения мощности и запишите результат измерения.

Решение. Результат измерения определяется Вт.

Из формулы (5.5) определим СКП измерения мощности

Относительное значение этой погрешности равно:

,

где - относительные значения СКП измерения тока и напряжения. При жесткой корреляции . Тогда . Определим эти значения:

;

.

Тогда и абсолютное значение СКП измерения мощности Вт.

Результат измерения: Вт; Вт.

5.2.11. Сопротивление определяется по измеренным значениям протекающего по резистору тока I = 20 мА и падению напряжения на нем U = 40 В. Известны СКП мА и В, которые коррелированны. Определите СКП измерения сопротивления, если коэффициент корреляции .

Ответ: Ом.

5.2.12. Сопротивление R _x измерено с помощью четырехплечего моста и определялось по формуле . Найдите относительную погрешность измерения , если относительные погрешности измерения сопротивлений (формула 5.1): , .

Ответ: .

5.2.13. Для условия задачи 5.2.12. определите СКП измерения , если известны относительные значения СКП сопротивлений . Погрешности и коррелированны с коэффициентом корреляции .

Дата добавления: 2015-10-02