Лабораторна робота №6

Чисельне інтегрування функцій

Зміст

1 Теоретичні відомості 2

2 Завдання. 3

3 Варіанти завдань. 3

4 Вимоги до звіту. 4

5 Література. 5

1 Теоретичні відомості

Чисельне інтегрування функцій

Квадратурна формула може бути записана у вигляді

; (1.1)

Величини називаються квадратурними коефіцієнтами, – квадратурними вузлами, а права частина формули – квадратурною сумою. Функція p(x) називається функцією ваги.

Інтегрування, що грунтується на інтерполяціїних формулах

При обчисленні квадратурних коефіцієнтів вузли обираються рівновіддаленими. Інтерполяціїні квадратури з такими вузлами прийнято називати формулами Ньютона-Котеса.

Припустимо, що відрізок інтегрування скінченний. Поділимо його на n рівних частин довжини h = (b-a)/n, так що . Інтерполяційну формулу запишемо у наступному вигляді:

(1.2)

(1.3)

Для сталої вагової функції формула Ньютона-Котеса має вигляд

(1.4)

(1.5)

Таблиця, що наведена нижче, містить значення коефіцієнтів . Для кожного n має місце співвідношення симетрії: , тому в таблицю включені лише коефіціенти з індексами .

Таблиця 9.1. Значення коефіцієнтів .

	1/2
	1/6	4/6
	1/8	3/8
	7/90	32/90	12/90
	19/288	75/288	50/288
	41/840	216/840	27/840	272/840

Задамось деякими точками й побудуємо інтерполяційний поліном L_m(x), що співпадає з f(x) у вузлах

.

Формула трапеції

Найпростіша інтерполяційна квадратурна формула одержується при .

Тоді коефіцієнти при ; k = 0, 1, 2 обчислюються за формулою

; ; .

На відрізку [a,b] одержуємо наступну формулу

. (1.6)

Формула (1.6) має назву формули трапецій. Оцінка похибки цієї формули:

(1.7)

Формула Сімпсона

При значеннях параметрів одержуємо

; ;

; .

Тоді, розбивши [a, b] на 2n підінтервалів, маємо формулу Сімпсона

(1.8)

Оцінка похибки цієї формули:

(1.9)

---

Дата добавления: 2015-10-02