Свойство коэффициента эксцесса

.

Пусть — независимые случайные величины с равной дисперсией. Пусть . Тогда

,

где — коэффициенты эксцесса соответствующих случайных величин.

Задачи:

1 Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что:

1. герб выпадет три раза;

2. герб выпадет один раз;

3. герб выпадет не менее двух раз.

Условие

1. A — появление события A с вероятностью p;

2. «не А» — событие А не появилось, что происходит с вероятностью q = 1 − p.

Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A, которое возникает с одной и той же вероятностью p.

Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных.

РешениеИтак, нас интересует событие A, когда выпадает герб. Вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется событие «не A», когда выпадает решка, что случается с вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз.

Таким образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Определим вероятность того, что герб выпал три раза, т.е. k = 3:

Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е. k = 1:

Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Основная загвоздка — во фразе «не менее». Получается, что нас устроит любое k, кроме 0 и 1, т.е. надо найти значение суммы X = P ₆(2) + P ₆(3) +... + P ₆(6).

Заметим, что эта сумма также равна (1 − P ₆(0) − P ₆(1)), т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0). Поскольку P ₆(1) нам уже известно, осталось найти P ₆(0):

Ответ 1) 5/16; 2) 3/32; 3) 57/64

2 С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных доброкачественных

изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0.0005. Найти

вероятность того, что из 4000 изделий в магазин прибудут 3 испорченных изделия.

РЕШЕНИЕ. Имеем схему Бернулли с параметрами n = 4000, p = 0,0005. Так как n = 4000

велико, а p = 0,0005 мало, можно использовать для вычислений приближенную формулу Пуассона

где

n - число опытов (испытаний),

p - вероятность успеха,

- вероятность того, что из n изделий окажется ровно k поврежденных в

пути. Так как np = 4000×0,0005 = 2

Вероятность того, что из 4000 изделий в магазин прибудут 3 испорченных изделия

ОТВЕТ. 0,18.

3 Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна р. Найти вероятность, что за смену откажут m элементов.
р= 0,024, m=6.

Решение: Используем локальную теорему Лапласа:
.
Здесь n=1000, k =6, p=0,024, q= 1-p = 0,976, значения функции берутся из таблицы. Подставляем:

Ответ: 0,000084

Теорема Муавра Лапласа -Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0<р<1) и m — число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенства близка (при больших n) к значению интеграла Лапласа.

Дата добавления: 2015-09-05