Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Поверхностный интеграл второго рода.

Связь интеграла по замкнутой поверхности с тройным интегралом по телу, ограниченному этой поверхностью. Формула Гаусса-Остроградского. | Оператор Гамильтона (набла-оператор). | Разложение произвольного векторного поля. |


Читайте также:
  1. L Состояние иудеев под греческим владычеством. Время Маккавеев и подвиги их для церкви и государства. Иудеи под владычеством римлян. Царствование Ирода.
  2. XXIV. Иисус Навин, завоевание земли обетованной и разделение ее. Религиозное одушевление израильского народа.
  3. Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
  4. Ангелы — предвестники Второго Пришествия Христа
  5. Асаблівасці канфесійных адносін на тэрыторыі Беларусі ў XVI-XVII стст. Рэфармацыя і контррэфармацыя. Утварэнне уніяцкай царквы і яе роля ў лёсе беларускага народа.
  6. Введение в Интегральный Подход
  7. Ведущая. А оцениваться наши конкурсы будут по пятибалльной системе. Ведущий. Жюри представлено, первый конкурс завершен. Пора бы и... Ведущая. Объявить начало второго конкурса.

Основной задачей, приводящей к поверхностному интегралу второго рода, является задача о вычислении потока вектора через поверхность.

 

Пусть S – двусторонняя поверхность, то есть такая, что при движении точки по любому замкнутому пути, лежащему на поверхности, нормаль к поверхности возвращается в исходное состояние. (Примером односторонней поверхности является лист Мебиуса). Предположим, что через поверхность S протекает жидкость, причем скорость течения жидкости (ее направление и величина) различная в разных точках поверхности S. Таким образом, в точках поверхности задан вектор скорости:

, .

Будем считать функции непрерывными на S.

Потоком вектора через поверхность S назовем объем жидкости, протекающей через поверхность S в направлении нормали к фиксированной стороне поверхности за единицу времени. Вычислим поток вектора через поверхность.

Будем считать поверхность гладкой, то есть имеющей касательную плоскость и нормаль в каждой точке. Разделим поверхность на n фрагментов , настолько малых, что нормаль к этому поверхностному фрагменту в различных его точках практически совпадает с нормалью к в одной выбранной на точке. Тогда поток вектора через фрагмент приблизительно равен , где – площадь фрагмента, – проекция вектора на направление нормали к выбранной стороне поверхностного фрагмента в точке . То есть, – скалярное произведение вектора и единичного вектора нормали.

 

 

 

Следовательно, , где - единичный вектор нормали к поверхностному фрагменту в точке . Таким образом, , причем значение тем точнее, чем меньше площадь фрагмента . Заметив, что площадь фрагмента можно заменить площадью соответствующего фрагмента касательной в точке плоскости к S, получим: . Здесь – площадь проекции фрагмента на плоскость YOZ, взятая с тем знаком, какой имеет , – площадь проекции фрагмента на плоскость ZOX, взятая с тем знаком, какой имеет , – площадь проекции фрагмента на плоскость XOY, взятая с тем знаком, какой имеет .

В итоге мы получим следующие выражения для вычисления потока:

.

При переходе к пределу в последнем выражении, учитывая, что пределы элементов площадей на координатных плоскостях – это произведения дифференциалов соответствующих координат, получим

.

Выражение в правой части последнего равенства называется поверхностным интегралом второго рода или поверхностным интегралом по координатам.

Заметим, что смена стороны поверхности меняет знак вектора нормали на противоположный, поэтому смена стороны поверхности меняет знак соответствующего интеграла второго рода на противоположный.

 

Следует отметить, что поверхностный интеграл второго рода иногда записывают в виде

,

где – направляющие векторы нормали к поверхности.

 

Вычисление поверхностного интеграла второго рода.

Требуется вычислить , когда функции непрерывны на поверхности S. Поверхность S задана параметрически: , где функции имеют непрерывные в прямоугольнике частные производные первого порядка, причем . В этом случае формула для вычисления поверхностного интеграла второго рода имеет вид

Выбор знаков + или – определяется выбором стороны поверхности.

 

Пример.

Вычислить по части плоскости , вырезанной координатными плоскостями и расположенной в первом октанте, если ее нормаль образует с осью OZ острый угол. В этом случае

причем проекции полученного треугольника на все координатные плоскости также треугольники, ограниченные линиями ,

, .

Переходим к повторным интегралам

 


Дата добавления: 2015-08-17; просмотров: 70 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Поверхностный интеграл первого рода.| Связь криволинейного интеграла второго рода по замкнутой кривой в пространстве с поверхностным интегралом. Формула Стокса.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)