Поверхностный интеграл первого рода.

Основной задачей, приводящей кповерхностному интегралу первого рода, является задача о вычислении массы неоднородного тела, один размер которого (толщина) значительно меньше других его размеров. Такие тела называются оболочками. Это корпуса самолетов, ракет, подводных и надводных судов и т.д.

Пусть S – поверхность в пространстве XYZ. Тяжелая неоднородная оболочка расположена в пространстве в виде этой поверхности. Плотность оболочки, рассчитанная на единицу площади поверхности, зависит от местоположения точки на поверхности и равна , причем – непрерывная на S функция. Для того, чтобы вычислить массу неоднородной оболочки, разобьем поверхность S на n фрагментов с площадями и на каждом таком фрагменте

выберем точку с координатами . Найдем значение .

Предполагая, что площадь i -го поверхностного фрагмента настолько мала, что плотность можно считать постоянной и равной , получаем, что масса этого фрагмента будет приблизительно равна , причем чем меньше фрагмент, тем точнее полученная масса этого фрагмента. Поэтому массу всей оболочки можно получить, просуммировав массы всех фрагментов и устремив к нулю площади фрагментов, одновременно увеличивая количество фрагментов, на которые разбита поверхность. Таким образом, выражение для массы оболочки будет иметь вид

.

Представим предел интегральной суммы через двойной интеграл, так как сомножитель – элемент площади. В результате предельного перехода получим .

Интеграл, стоящий в правой части последнего выражения, называется поверхностным интегралом первого рода или поверхностным интегралом по площади поверхности. От двойного интеграла он отличается тем, что его подынтегральная функция зависит не от двух, а от трех переменных.

По определению интеграл не зависит от выбора стороны поверхности оболочки.

С помощью поверхностного интеграла 1-го рода можно вычислять не только массу оболочки, но и другие физические характеристики оболочки: моменты, центр тяжести и т.д.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

Пусть требуется вычислить , когда функция непрерывна на поверхности S. Поверхность S задана параметрически: , где функции имеют непрерывные в прямоугольнике частные производные первого порядка. Формула для вычисления поверхностного интеграла имеет вид:

В частности, когда поверхность задана в явном виде: мы имеем формулу .

Пример.

Вычислить, где часть конической поверхности , заключенная между плоскостями и . Очевидно, нужная нам часть конической поверхности находится в верхнем полупространстве, ее уравнение . Чтобы использовать вышеприведенную формулу, следует определить , , тогда и

, где проекция части конической поверхности, расположенной между плоскостями и на плоскость . Это круг . Переходим в двойном интеграле к полярным координатам . В этом случае якобиан преобразования равен . Итак,

.

Дата добавления: 2015-08-17