Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f(x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в этой точке:

1)Существует левосторонний предел lim┬(X→a-0)⁡〖f(x)〗 и правосторонний предел lim┬(X→a+0)⁡〖f(x)〗

2)Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

3)Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

lim┬(х→a-0)⁡〖f(x)〗=lim┬(х→a+0)⁡〖f(x)〗

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

4)Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

lim┬(х→a-0)⁡〖f(x)〗≠lim┬(х→a+0)⁡〖f(x)〗

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов |lim┬(х→a-0)⁡〖f(x)〗-lim┬(х→a+0)⁡〖f(x)〗 | называется скачком функции.

Функция f(x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

16. Пусть функция x = φ(t) имеет обратную функцию t = Ф(x). Если функции x=φ(t), y = ψ(t) дифференцируемы и φ'(t) ≠ 0, тогда

Производная сложной функции:

17. Дифференциал функции – это произведение производной и приращения аргумента

Теорема 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она имеет дифференциал.

Теорема 2. Если функция имеет дифференциал в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке.

18 Дифференциалы высших порядков.

Пусть в интервале (а, b) задана дважды дифференцируемая функция y = f(x), где x – независимая переменная.

Фиксируем приращение dx= ∆x независимой переменной x, т.е. будем считать первый дифференциал dy=f^' (x)dx функцией только переменной x.

19. 1. Область определения

2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность

Если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство, то – четная функция; если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство, то – нечетная функция; в противном случае, – общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат

4. Нахождение промежутков знакопостоянства функции.Промежутки знакопостоянства функции – промежутки из области определения функции, где функция принимает положительные или отрицательные значения

5. Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек.Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых производная не существует или равна нулю.

6. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов.Критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков. Если производная функции положительна на некотором промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на некотором промежутке I, то функция убывает на этом промежутке. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума.

7. Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба.Для нахождения промежутков выпуклости используется вторая производная функции. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки.

8. Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва

Для исследования поведения функции в окрестности точки разрыва необходимо вычислить односторонние пределы: и. Если хотя бы один из данных пределов равен бесконечности, то говорят, что прямая – вертикальная асимптота.При исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот при и. Для этого нужно вычислить следующие пределы: и. Если оба предела существуют, то – уравнение наклонной асимптоты при. Частный случай наклонной асимптоты при – горизонтальная асимптота. Аналогично ищется наклонная асимптота при.

9. Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках)

20 Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если и , то ;

Если и , то аналогично

Правило Лопиталя

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть lim┬(x→a)⁡〖f(x)=lim┬(x→a)⁡〖g(x)= 0〗 〗 или lim┬(x→a)⁡〖f(x)=lim┬(x→a)⁡〖g(x)= ∞〗 〗. Тогда, если существует предел отношения производных этих функции lim┬(x→a)⁡〖(f'(x))/(g'(x))〗, то существует и предел отношения самих функции (f(x))/(g(x)) при x→a, причем

lim┬(x→a)⁡〖f(x)/g(x) 〗= lim┬(x→a)⁡〖(f^' (x))/(g^' (x))〗

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом:

предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

21 Определение первообразной и неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как

Таким образом, если F – некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

Свойства неопределенного интеграла.

В приведенных ниже формулах f и g – функции переменной x, F – первообразная функции f, a, k, C – постоянные величины.

22. Методы интегрирования неопределенных интегралов.

Метод подстановки

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.

Интегрирование дробно-рациональных функций

Пусть и некоторые полиномы степени m и n

Функция вида

называется дробно-рациональной функцией

рациональной дробью называется отношение 2ух многочленов.

23 Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

2°. Интегралы вида

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

24. Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке

Для любых a, b и c

Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A

Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке.

Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то д

Формула Ньютона-Лейбница

Если непрерывна на отрезке и — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

25.. Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев с помощью весьма простых средств решать сложные математические задачи.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:

1. f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;

2. f (t)=0 для всех отрицательных t;

3. f (t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянные М и s0, что |f(t)|<Mes0t для всех t.Изображением функции f (t) (по Лапласу) называется функция F(p) комплексного переменного p=s +it, определяемая равенством

Тот факт, что F(p) есть изображение f (t), будем символически записывать так:

Для любой функции-оригинала f (t) изображение определено в полуплоскости Rep>s0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

Из определения изображения следуют его простейшие свойства:

1. Линейность. Для любых комплексных постоянных a и b

(здесь и далее считать f(t)=F(p), g(t)=G(p)).

2.Теорема подобия. Для любого постоянного a >0

.

3. Дифференцирование оригинала. Если функции f (t), fў (t), fІ (t),…, f (n)(t) являются функциями-оригиналами и f(t)=F(p), то

,

, ,где под f (k)(0), (k= 1, 2,…, n-1) понимается .

4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (-t) оригинала

или вообще

.

5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р, т. е. если f(t)=F(p), то

6. Интегрирование изображения. Если интеграл сходится, то он служит изображением функции

7.Теорема смещения. Если f(t)=F(p), то для любого комплексного р0

8.Теорема запаздывания. Если f(t)=F(p), то для любого t >0

Важной для приложений является следующая:

Теорема единственности

Если две функции j(t) и j(t) имеют одно и то же L-изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Дата добавления: 2015-08-17