Приклади спряжених просторів

1. Нехай E – -вимірний лінійний простір (дійсний або комплексний). Оберемо в ньому який-небудь базис ; тоді будь-який елемент однозначно представляється у вигляді

Якщо – лінійний функціонал на E, то ясно, що

отже, лінійний функціонал однозначно визначається своїми значеннями на векторах базису , причому ці значення можна задати довільно. Визначимо лінійні функціонали , вважаючи

Очевидно, що ці функціонали лінійно-незалежні. Ясно, що , тому формулу (2) можна записати у вигляді

Таким чином, функціонали складають базис у просторі E*, тобто E* – -вимірний лінійний простір, базис в E* називають двоїстим по відношенню до базису в E.

Різні нормі в просторі E породжують різні норми в E*. Ось декілька прикладів пар відповідних один одному в E і E*:

В цих формулах – це координати вектора в базисі , а – координати функціонала E* в двоїстому базисі

2. Розглянемо простір c₀ послідовностей

що збігаються до нуля з нормою

Покажемо, що спряжений до нього простір () ізоморфний простору абсолютно підсумованих послідовностей з нормою

Будь-яка послідовність визначає в просторі c₀ лінійний обмежений функціонал за формулою

такий що

(3)

Ясно, що

тому

Розглянемо в c₀ вектори

;

;

…………………………

;

……………………….

і покладемо

(якщо , то вважаємо, що ). Тоді , і

так, що

Внаслідок цього ,

В силу довільності , тобто

зіставляючи з доведеною вище протилежною нерівністю, робимо висновок, що

Таким чином, ми побудували лінійне ізометричне відображення простору в простір . Залишилось впевнитися в тому, що образ простору співпадає з усім , тобто що будь-який функціонал можна подати у вигляді (3), де . Для будь-якого маємо

причому ряд, що стоїть праворуч, збігається у до елемента , бо

Так як функціонал неперервний, то

тому достатньо перевірити, що

Вважаючи, що

і вважаючи, що , , маємо

звідки в силу довільності робимо висновок, що

3. Неважко довести, що простір , спряжений з простором , ізоморфний простору , що складається з усіх обмежених послідовностей з нормою

4. Нехай и – простір всіх послідовностей , для яких

Можна довести, що спряжений до нього простір ізоморфний до простору , . Загальний вигляд неперервного лінійного функціонала на :

Доведення засноване на використанні нерівності Гельдера.

5. З’ясуємо структуру простору, спряженого до гільбертового.

Теорема: Нехай – дійсний гільбертовий простір. Для будь-якого неперервного лінійного функціонала на існує єдиний елемент , такий що

, (4)

причому . Обернено, якщо , то формула (4) визначає такий неперервний лінійний функціонал , то . Таким чином, рівність (4) визначає ізоморфізм між просторами .

---

Дата добавления: 2015-08-17