Объединение множеств

Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В, т. е. принадлежат А, или принадлежат В, или принадлежат и А и В. Объединение множеств А и В обозначается через АÈВ. Таким образом,

С=АÈВ={cïcÎA или сÎВ}.

Напомним, что согласно «определению» множества, если один и тот же элемент содержится и в множестве А и в множестве В, то в их объединение этот элемент включается только один раз.

Например, если А={1, 2, 3, 4, 5}, а В={2, 4, 6, 7}, то АÈВ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Если А – множество отличников группы, а В – множество хорошистов, то АÈВ составляет множество и отличников, и хорошистов. Если А – множество отличников группы, а В – все множество студентов группы, то элементами АÈВ являются все студенты группы.

По аналогии с алгеброй чисел объединение иногда называют суммой множеств.

Операции с множествами удобно иллюстрировать при помощи графических схем, в которых отдельные множества представляются в виде кругов. Предполагается, что элементами множества являются все точки круга. Такие круги называются диаграммами Вена или кругами Эйлера.

Если А – множество точек левого круга, а В – точек правого круга на рис.2.1, то заштрихованная фигура есть АÈВ.

Рис. 2.1

Операция «объединение» аналогичным образом распространяется и для трех, четырех и вообще n множеств , , …, . Множество С= È È…È – это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств , , …, .

Например, если А – множество успевающих студентов группы, В – множество юношей, а С – множество неуспевающих девушек, то АÈВÈС - множество всех студентов группы.

Из определения операции объединение следует, что она обладает многими теми же свойствами, что и операция сложения чисел:

АÈВ = ВÈА – коммутативность (переместительность);

(АÈВ)ÈС = АÈ(ВÈС) – ассоциативность (сочетательность).

Однако объединение множеств обладает и такими свойствами, которыми не обладает сложение чисел:

АÈА = А – закон идемпотентности;

если АÍВ, то АÈВ = В.

Например, если А={2, 4}, а В={1, 2, 3, 4, 5}, то АÈВ={1, 2, 3, 4, 5}. Если А – множество успевающих студентов группы, В – множество успевающих юношей, то АÈВ – по прежнему множество успевающих студентов.

Дата добавления: 2015-08-20