Понятие множества

Основное и самое существенное в понятии множества – это акт объединения различных объектов в одно целое.

Основатель теории множеств немецкий математик и философ Георг Кантор писал: «Под многообразием или множеством я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона». Перефразируя Кантора можно сказать, что множество — любая совокупность определенных и различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое. Природа таких объектов может быть совершенно любой.

Существенными в понятии множества являются следующие признаки:

1. Объекты, входящие во множество, определенные. Это означает, что для каждого объекта можно однозначно сказать, принадлежит ли он данному множеству или нет.

2. Объекты, входящие во множество, различимы между собой. Следовательно, во множестве не может быть двух или более одинаковых объектов.

3. Все объекты, входящие во множество, мыслятся как единое целое. Этим подчеркивается, что все объекты рассматриваются в совокупности, а от свойств отдельных объектов абстрагируются.

Множества обычно обозначают прописными курсивными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д. Для наиболее важных числовых множеств приняты постоянные обозначения. Множество натуральных чисел стандартно обозначается буквой N, множество целых чисел – С, множество действительных чисел – буквой R.

Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами и обозначают строчными курсивными буквами латинского алфавита: а, x, y. Для того, чтобы указать, что x – элемент множества А, записывают xÎ A (читается: «x принадлежит А»). Например, если А – множество дней недели, а x – понедельник, то xÎ A. Чтобы указать, что x не является элементом множества А, записывают xÏА («x не принадлежит А»). В нашем примере, если x – ноябрь, то xÏА.

Из канторовского понятия множества следует, что задать множество можно двумя способами. Первый способ – явный или перечислительный – состоит в простом перечислении всех элементов, в совокупности составляющих данное множество. Элементы множества заключаются в фигурные скобки { }, которые показывают, что элементы объединены в одно целое, в совокупность.. Если А – множество дней недели, то записывают А={понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}, множество арифметических действий B задают так: B={сложение, вычитание, умножение, деление}, множество корней квадратного уравнения X: X={2, 3}.

Согласно определению, во множестве не бывает одинаковых элементов. Поэтому запись {2, 2, 3} считается некорректной. Ее необходимо заменить на следующую {2, 3}. Порядок следования элементов во множестве роли не играет. Поскольку {2, 3, 4} и {4, 3, 2} состоят из одних и тех же элементов, они задают одно и то же множество. Второй способ задания состоит в том, что мы указываем условие, по которому выбираем эти и только эти элементы во множество, признак, характеризующий все элементы множества. Такой способ называется описательным. В этом случае для задания множества X c элементами x применяется следующая запись: X={x | признак}. Например, X={x | }, А={a | a – день недели}, В={b | b – арифметическое действие}. Описательный способ задания множества напрямую связан с алгеброй высказываний, так как записываемый признак и есть высказывание, касающееся элементов рассматриваемого множества.

Множества можно разделить на конечные и бесконечные.

Конечным множеством называется такое множество, состоящее из конечного числа элементов.

Множество называется бесконечным, если оно состоит из бесконечного числа элементов.

К конечным множествам относится и множество, не содержащее элементов вообще. Такое множество называют пустым и обозначают Æ. Необходимость его введения вызвана тем, что, определяя множество с помощью некоторого условия, мы не всегда можем сказать заранее, содержит ли оно элементы или нет.

Если каждый элемент множества В является также и элементом множества А, то говорят, что множество В называется подмножеством множества А.

Обозначатся это следующим образом: В Í А (В включено в А).

Подмножество В может и совпадать с множеством А, т.е. множества А и В будут состоять из одних и тех же элементов. В этом случае множества А и В называются равными: А=В (интуитивный принцип объемности).

Если в множествах А и В отличаются хотя бы одним элементом, то А¹В.

Можно заметить, что само множество А является подмножеством самого себя:

А Í А.

Кроме того, пустое множество, по определению, считают подмножеством любого множества:

Æ Í А.

Все множества, с которыми имеют дело в том или ином рассуждении, являются подмножествами некоторого множества I, т.е. для любого множества А

А Í I.

В этом случае множество I называют универсальным множеством. Например, для алгебры универсальным множеством является множество действительных чисел.

Таким образом, у любого множества обязательно существуют хотя бы два подмножества: пустое множество и само множество. Эти два подмножества называются несобственными подмножествами. Любое подмножество, отличное от несобственного, называется собственным подмножеством данного множества.

Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и обозначается P(A). Например, для А={2, 3} множество-степень P(A)={А, {2}, {3}, Æ}, для А={1,2,3} множество-степень таково: P(A)={А, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, Æ}. Название «множество-степень» исходит из того, что число всех подмножеств n-элементного множества равно . Продемонстрируем данный результат. Множество, состоящее из одного элемента а, имеет два подмножества: Æ и {a}. Множество, состоящее из двух элементов а и b, имеет уже 4 подмножества: те же Æ и {a} и еще {b}, {a, b}. Добавим третий элемент с. Множество {a, b, c} кроме рассмотренных выше 4 подмножеств Æ, {a}, {b}, {a, b} имеет еще 4 подмножества {c}, {a, c}, {a, b}, {a, b, c}.Таким образом, ясно, что каждый раз прибавление еще одного элемента ведет к удвоению числа подмножеств. И множество, состоящее из n-элементов, имеет подмножеств.

Дата добавления: 2015-08-20