Низкочастотное и высокочастотное приближения; глубина скин-слоя и плазменная частота

Наш результат для показателя преломления в металлах —формула (32.42) — предсказывает для распространения волн с разными частотами совершенно различные характеристики. Прежде всего давайте посмотрим, что получается при низких частотах. Если величина w достаточно мала, то (32.42) можно приближенно записать в виде

Возведением в квадрат можно проверить, что

таким образом, для низких частот

Вещественная и мнимая части n имеют одну и ту же величину. С такой большой мнимой частью n волны в металлах затухают очень быст­ро. В соответствии с выражением (32.36) амплитуда волны, идущей в направлении оси z, уменьшается как

Запишем это в виде

е^-z/d, (32.47)

где d — это то расстояние, на котором амплитуда волны умень­шается в е=2,72 раза, т. е. приблизительно в 3 раза. Ампли­туда такой волны, как функция от z, показана на фиг. 32.3.

Фиг. 32.3. Амплитуда попе­речной электромагнитной вол­ны в металле как функция расстояния.

Поскольку электромагнитные волны проникают в глубь металла только на это расстояние, величина d называется глубиной скин-слоя и определяется выражением

Но что все-таки мы понимаем под «низкими» частотами? Взглянув на уравнение (32.42), мы видим, что его можно приб­лиженно заменить уравнением (32.44), только когда wt много меньше единицы и когда we ₀/s также много меньше единицы, т. е. наше низкочастотное приближение применимо при

w<<1/t

и

w<<s/e₀. (32.49)

Давайте посмотрим, какие частоты соответствуют этому приближению для такого типичного металла, как медь. Для вычисления t воспользуемся уравнением (32.43), а для вычис­ления s/e₀ — известными значениями s и e₀. Справочник дает нам такие данные:

s=5,76•10⁷ (ом•м)^-1,

Атомный вес = 63,5 г,

Плотность = 8,9 г/см³,

Число Авогадро=6,02•10²³.

Если мы предположим, что на каждый атом приходится по од­ному свободному электрону, то число электронов в кубическом метре будет равно

N=8,5•10²⁸ м ^-3.

Используя далее

q_e=1,6•10^-19 кулон,

e ₀=8,85•10^-12 ф/м,

m =9,11•10^-31 кг,

получаем

t=2,4•10^-14 сек,

1/t=4,l•10¹³ сек^-1,

s/e₀ = 6,5•10¹⁸ сек^-1.

Таким образом, для частот, меньших чем приблизительно 10¹² гц, медь будет иметь описанное нами «низкочастотное» пове­дение. (Это будут волны с длиной, большей 0,3 мм, т. е. очень короткие радиоволны!)

Для таких волн глубина скин-слоя равна

Для микроволн с частотой 10 000 Мгц (3-сантиметровые волны)

s=6,7•10^-4 см,

т. е. волны проникают на очень малое расстояние.

Теперь вы видите, почему при изучении полостей (и волно­водов) нам нужно беспокоиться только о полях внутри полости, а не о волнах в металле или вне полости. Кроме того, мы видим, почему серебрение или золочение полости уменьшает потери в ней. Ведь потери происходят благодаря токам, которые ощу­тимы только в тонком слое, равном глубине скин-слоя.

Рассмотрим теперь показатель преломления в металле типа меди при высоких частотах. Для очень высоких частот сот много больше единицы, и уравнение (32.42) очень хорошо аппрокси­мируется следующим:

Для высокочастотных волн показатель преломления в метал­лах становится чисто вещественным и меньшим единицы! Это следует также из выражения (32.38), если пренебречь диссипативным членом с 7, что может быть сделано при очень боль­ших значениях w. Выражение (32.38) дает при этом

что, разумеется, эквивалентно уравнению (32.50). Раньше нам

уже встречалась величина (Nq²_e/e₀m)^1/2, которую мы назвали

плазменной частотой (см. гл. 7, § 3, вып. 5);

Таким образом, (32.50) или (32.51) можно переписать в виде

Эта плазменная частота является своего рода «критической». Для w<w_р показатель преломления металла имеет мнимую часть и происходит поглощение волн, но при w>>w_p показатель становится вещественным, а металл — прозрачным. Вы знаете, конечно, что металлы в достаточной мере прозрачны для рент­геновских лучей. Но некоторые металлы прозрачны даже для ультрафиолета. В табл. 32.3 мы приводим для некоторых ме­таллов экспериментально наблюдаемые длины волн, при кото­рых эти металлы начинают становиться прозрачными. Во второй колонке дана вычисленная критическая длина волны l_p =2pc/w_p. Учитывая, что экспериментальная длина волны определена не очень хорошо, согласие с теорией следует приз­нать замечательным.

Таблица 32.3 • длины волн, при ко­торых МЕТАЛЛ СТАНО­ВИТСЯ ПРОЗРАЧНЫМ

Вас может удивить, почему плазменная частота w_р должна иметь отношение к распространению волн в металлах. Плаз­менная частота появилась у нас в гл. 7 (вып. 5) как собственная частота колебаний плотности свободных электронов. (Электри­ческое расталкивание группы электронов и их инерция приво­дят к колебаниям плотности.) Продольные волны плазмы резо­нируют при частоте w. Но сейчас мы говорим о поперечных вол­нах, и мы уже нашли, что при частотах, меньших w _р, происхо­дит их поглощение. (Это очень интересное и отнюдь не случайное совпадение.)

Хотя мы все время говорили о распространении волн в ме­таллах, вы одновременно, должно быть, почувствовали универ­сальность явлений физики: нет никакой разницы в том, находят­ся ли свободные электроны в металле, в плазме, в ионосфере Земли или в атмосфере звезд. Чтобы понять распространение радиоволн в ионосфере, можно воспользоваться тем же выраже­нием, разумеется, при надлежащих значениях величин N и t. Теперь мы можем видеть, почему длинные радиоволны погло­щаются или отражаются ионосферой, тогда как короткие сво­бодно проходят через нее. (Поэтому для связи с искусственными спутниками Земли должны применяться короткие волны.)

Мы говорили о распространении предельных высоко- и низ­кочастотных волн в металлах. Для промежуточных же частот необходимо использовать «полновесное» уравнение (32.42). В общем случае показатель преломления будет иметь веществен­ную и мнимую части, и при распространении волн в металлах происходит их поглощение. Очень тонкие слои металла про­зрачны даже для обычных оптических частот. В качестве примера приведем специальные защитные очки для рабочих, работаю­щих около высокотемпературных печей. Эти очки изготавли­ваются напылением на стекло очень тонкого слоя золота; стекло это достаточно прозрачно для видимого света и на просвет выглядит как зеленое, но инфракрасные лучи сильно поглощает.

И, наконец, от читателя невозможно скрыть тот факт, что многие из этих формул в некотором отношении напоминают формулы для диэлектрической проницаемости c, рассмотренные в гл. 10 (вып. 5). Диэлектрической проницаемостью c измеряется реакция материала на статическое электрическое поле, т. е. когда w=0. Если вы посмотрите повнимательнее на определе­ние n и c, то обнаружите, что c есть не что иное, как предел n² при w®0. В самом деле, положив в уравнениях этой главы w=0 и n²=c, мы воспроизведем уравнения теории диэлектри­ческой проницаемости гл. 11 (вып. 5).

* Или записав — i=е^-ip/2; Ö-i=e^-ip/4 = соsp/4- isinp/4, что приводит к тому же результату.

Дата добавления: 2015-08-20