Четырехмерный тензор электро­магнитного импульса

Все тензоры, с которыми мы сталкивались в этой главе, были связаны с трехмерным пространством; они определялись как величины, имеющие известные трансформационные свойства при пространственных поворотах. А вот в гл. 26 (вып. 6) мы имели возможность воспользоваться тензором в четырехмерном про­странстве-времени: это был тензор электромагнитного поля F _mv. Компоненты такого четырехмерного тензора особым образом преобразуются при преобразованиях Лоренца. (Мы этого, прав­да, не делали, но могли бы рассматривать преобразования Ло­ренца как своего рода «вращение» в четырехмерном «простран­стве», называемом пространством Минковского; тогда аналогия с тем, что мы рассматривали здесь, была бы ярче.)

В качестве последнего примера мы хотим рассмотреть дру­гой тензор в четырех измерениях (t, x, y, z) теории относитель­ности. Когда мы говорили о тензоре напряжений, то опреде­ляли S_ij как компоненту силы, действующую на единичную площадку. Но сила равна скорости изменения импульса со временем. Поэтому вместо того, чтобы говорить «S_xy — это х- компонента силы, действующей на единичную площадку, пер­пендикулярную оси у», мы с равным правом могли бы сказать: «S_xy — это скорость потока x-компоненты импульса через еди­ничную площадку, перпендикулярную оси у». Другими словами, каждый член S_ij представляет поток i-й компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси j. Так обстоит дело с чисто пространственными компонентами, но они составляют только часть «большего» тензора S_mv в четырехмер­ном пространстве m. и v=t, x, у, z), содержащего еще дополни­тельные компоненты S_tx, S _yt, S_tt и т. п. Попытаемся теперь выяс­нить физический смысл этих дополнительных компонент.

Нам известно, что пространственные компоненты представ­ляют поток импульса. Чтобы найти ключ к распространению этого понятия на «временное направление», обратимся к «по­току» другого рода — потоку электрического заряда. Скорость потока скалярной величины, подобной заряду (через единичную площадь, перпендикулярную потоку), является пространствен­ным вектором — вектором плотности тока j. Мы видели, что временная компонента вектора потока — это плотность теку­щего вещества. Например, j можно скомбинировать с плотно­стью заряда j_t=r и получить четырехвектор j_m=(r, j), т. е. значок m у вектора j_m принимает четыре значения: t, х, у, z. Это означает «плотность», «скорость потока в x-направлении», «скорость потока в y-направлении» и «скорость потока в z-направлении» скалярного заряда.

Теперь по аналогии с нашим утверждением о временной ком­поненте потока скалярной величины можно ожидать, что вместе c S_xx,S_xy и S_xz, описывающими поток x-компоненты импульса, должна быть и временная компонента S_xt , которая по идее дол­жна бы описывать плотность того, что течет, т. е. S_xt должна быть плотностью х-компоненты импульса. Таким образом, мы можем расширить наш тензор по горизонтали, включив в него t-компоненты, и в нашем распоряжении оказываются:

S_xt — плотность x-компоненты импульса,

S_xx — поток z-компоненты импульса в направлении оси х,

S_xy — поток y-компоненты импульса в направлении оси у,

S_xz — поток z-компоненты импульса в направлении оси z.

Аналогичная вещь происходит и с y-компонентой; у нас есть три компоненты потока: S_yx, S_yy и S_yz, к которым нужно добавить четвертый член:

S_yt — плотность y-компоненты импульса,

а к трем компонентам S_zx, S_zy и S_zz мы добавляем

S_zt — плотность z-компоненты импульса.

В четырехмерном пространстве у импульса существует также и t-компонента, которой, как мы знаем, является энер­гия. Так что тензор S_ij следует продолжить по вертикали с включением в него S_tx, S_ty и S_tz, причем

S_tx — поток энергии в направлении оси х, S_ty — поток энергии в направлении оси у, (31.28) S_tz — поток энергии в направлении оси z,

т. е. S_tx — это поток энергии в единицу времени через поверх­ность единичной площади, перпендикулярную оси х, и т. д. Наконец, чтобы пополнить наш тензор, нужна еще величина S_tt, которая должна быть плотностью энергии. Итак, мы расширили наш трехмерный тензор напряжений до четырехмерного тензора энергии-импульса S_mv. Индекс m может принимать четыре зна­чения: t, х, у и z, которые означают «плотность», «поток через единичную площадь в направлении оси х», «поток через единич­ную площадь в направлении оси y» и «поток через единичную площадь в направлении оси z». Значок v тоже принимает четы­ре значения: t, х, у, z, которые говорят нам, что же именно течет: «энергия», x-компонента импульса», «y-компонента им­пульса» или же «z-компонента импульса».

В качестве примера рассмотрим этот тензор не в веществе, а в пустом пространстве с электромагнитным полем. Вы знаете, что поток энергии электромагнитного поля описывается век­тором Пойнтинга S =e₀c² E X В. Так что х-, у- иz-компоненты вектора S с релятивистской точки зрения являются компонентами: S_ix, S_tн и S_tz нашего тензора энергии-импульса. Симметрия тензора S_ij переносится и на временные компоненты, так что четы­рехмерный тензор S_mv тоже симметричен:

S_mv =S_vm.. (31.29)

Другими словами, компоненты S_xt, S_yt, S_zt, которые представ­ляют плотности х-, у- и z-компонент импульса, равны также х-, у- и z-компонентам вектора Пойнтинга S, или, как мы ви­дели раньше из других соображений, вектора потока энергии.

Оставшиеся компоненты тензора электромагнитного напря­жения S_mv тоже можно выразить через электрическое и магнит­ное поля Е и В. Иначе говоря, для электромагнитного поля в пустом пространстве мы должны допустить существование тензора напряжений, или, выражаясь менее таинственно, по­тока импульса электромагнитного поля. Мы уже обсуждали это в гл. 27 (вып. 6) в связи с уравнением (27.21), но тогда мы не входили в детали.

Тем из вас, кто хочет испытать свою удаль на четырехмер­ных тензорах, может понравиться выражение для тензора S_mv через поля:

где суммирование по a и b проводится по всем их значениям (т. е. t, x, у и z), но, как обычно в теории относительности, для суммы S и символа d принимается специальное соглашение. В суммах слагаемые со значками х, у, z должны вычитаться, а d_tt=+1, тогда как d_xx.=d_уу = d_zz=-1 и d_mv=0 для всех m¹ v (с=1). Сможете ли вы доказать, что эта формула приводит к плотности энергии S_tt=( e ₀/2)(E²+B²) и вектору Пойнтинга e₀ Е X В? Можете ли вы показать, что в электростатическом поле, когда В =0, главная ось напряжения направлена по электриче­скому полю и вдоль направления поля возникает натяжение ( e ₀/2)E² и равное ему давление в направлении, перпендикуляр­ном направлению поля?

* Если не полагать с=1, как это делается здесь, то плотность энергии в принятых в книге единицах будет равна (e₀/2)(E²+с²B²) или в единицах СИ ¹/₂[e₀E²+(l/m₀)B²]. — Прим. ред.

Дата добавления: 2015-08-20