Интервальная оценка.

3.4.1. Ситуация, когда дисперсия генеральной совокупности

s² уже известна

Если определить среднее арифметическое в выборке объемом n, взятой методом случайного отбора образцов из нормальной генеральной совокупности со средним арифметическим m и дисперсией s² и нормировать его, то выражение (3.1) подчинится нормальному распределению со средним значением m = 0 и дисперсией s² = 1.

Приняв значение U, соответствующее уровню значимости a, за U_a, получают, что вероятность неравенства

< < (3.8)

будет (1- a). Видоизменив эту формулу, получают нижнюю границу и верхнюю границу нахождения среднего арифметического m. Это и есть доверительный интервал.

Пример 3.5.

Известно, что среднее арифметическое отклонение массы изделий, изготовленных неким технологическим процессом, составляет

s =3,5 г. Далее в результате измерения массы этих изделий в выборке объемом n= 4, извлеченной случайным отбором, было получено г. Предлагается сделать интервальную оценку среднего арифметического для массы в генеральной совокупности при доверительной вероятности 99%.

Решение.

Поскольку 1 - a = 0,99, то a = 0,01. По табл.1 Приложения находим U_0,01 = 2,576.

Нижняя граница г.

Верхняя граница г.

Таким образом, среднее арифметическое генеральной совокупности находится в интервале 58,3 < m < 72,5 г.

3.4.2. Ситуация, когда дисперсия генеральной совокупности s² неизвестна

Если дисперсия генеральной совокупности s² неизвестна и при этом использовать выражение (2.10), то определенное при помощи выражения (3.2) распределение статистической величины t принимает распределение Стьюдента при числе степеней свободы Ф = n - 1. Доверительный интервал, обусловленный вероятностью (1 - a), выражают:

< < (3.9)

причем доверительные границы

(3.10)

Пример 3.6.

Для того, чтобы узнать величину поводки, полученную при термообработке штампованных деталей, была взята выборка n = 10 и получены = 0,085 мм, s_е = 0,042 мм.

Необходимо определить границы 95%-ного доверительного интервала для величины поводки этих деталей.

Решение.

Доверительные границы

Доверительный интервал 0,054 мм - 0,116 мм.

Дата добавления: 2015-07-16