Формула Байеса. 12. Первый станок производит 60% продукции, второй 40%

12. Первый станок производит 60% продукции, второй 40%. Процент брака у каждого из них соответственно 1% и 2%. Сучайно взятая деталь оказалась бракованная. Найти вероятность, что она именно с 1-го станка (соответственно, 2-го).

Ответ. 6/14 и 8/14

(Неделя 12) Практика 17. 2.5.2015 - 134-1, 134-2

Задача 1. В коробке 4 красных шара, 8 белых и 8 чёрных. Случайным образом выбирают 2 шара. Какова вероятность, что они оба красные?

Решение. Есть 2 способа.

1-й Можно рассмотреть последовательно: сначала выбираем красный шар с вероятностью . После этого в коробке осталось 19 шаров, из них 3 красных. Значит, второй выбор красного шара произойдёт с вероятностью . Итого .

2-й Число всевозможных комбинаций 2 шаров из 20 есть , а число комбинаций только из красных шаров . Итого нужно вычислить = = = = .

Задача 2. В коробке 4 красных шара, 8 белых и 8 чёрных. Случайным образом выбирают 2 шара. Какова вероятность, что они оба одного цвета?

В отличие от прошлой задачи, теперь оба шара могут быть любого цвета. В том числе, 2 белых и 2 чёрных.

Тогда нужно вычислить + + = + = .

Задача 3. Два стрелка стреляют по мишени, вероятность попадания у 1-го 0,4 а у второго 0,3. Найти вероятность, что 1) цель будет поражена 2) в цель попали оба 3) в цель попал всего один из них 4) не попал никто.

0,4 + 0,3 - 0,4 * 0,3 = 0,58 что вообще цель поражена хотя бы 1 раз.

0,4 * 0,3 = 0,12 что оба.

0,58 - 0,12 = 0,46 что всего один.

1 - 0,58 = 0,42 что никто.

Задача 4. Есть 3 коробки. В 1-й 6 белых и 4 чёрных шара. Во 2-й 5 белых и 5 чёрных. В 3-й 1 белый и 9 чёрных.

1) С равной вероятностью выбираем коробку, и затем из неё 1 шар, найти вероятность, что он белый.

2) Если выбранный шар белый, найти вероятность, что он был именно из 3-й коробки.

Решение. 1) на формулу полной вероятности.

2) на формулу Байеса. Доля 3-го слагаемого в общей сумме в пункте 1. =

Задача 5. Геометрическая вероятность. На отрезок [0,1] случайным образом брошены 2 точки. Найти вероятность того, что произведение их абсцисс больше или равно, чем 1/2.

Решение.

Требуется , то есть . Построим схему с помощью квадрата, отложив 1-ю точку по оси Х, вторую по У. Тогда этому условию удовлетворяют точки, расположенные в квадрате выше линии . Нужно найти площадь этой области относительно площади квадрата (которая равна 1), то есть интеграл . = .

Задача 6. Точка случайныи образом брошена в квадрат со стороной . Найти вероятность, что она окажется на расстоянии менее от сторон квадрата.

Ответ 0,36.

Задача 7. (Схема Бернулли). Вероятность срабатывания устройства при каждом 0,7. Найти вероятность того, что оно сработает ровно 7 раз из 10.

Решение. =... Ответ. .

Задача 8 (Схема Бернулли). В группе 6 студентов, средняя посещаемость у каждого 80%. Найти вероятность, что на данное занятие придут 5 из 6. (Аналогично, 6 из 6, 4 из 6 и т.д.)

Решение. По формуле

P	...	...	...	0,082	0,246	0,393	0,262

Задача 9 (Схема Бернулли). Куб брошен 4 раза. Найти вероятность того, что данная грань выпадет:

0 раз, 1 раз, 2 раза, 3 раза, 4 раза.

Решение. По формуле

P	0,482	0,385	0,116	0,015	0,0077

(Неделя 13) Практика 18. 5.5.2015 134-1, 12.5.2015 - 134-2

Теоремы Муавра - Лапласа. Формула Пуассона.

1. Кубик подброшен 6000 раз. Найти вероятность того, что данная грань выпадет

а) ровно 1000 раз б) от 990 до 1010 раз в) от 980 до 1020 раз.

Решается по локальной (а) и интегральной (б,в) теоремам Муавра-Лапласа.

Ответ. а) 0,013855 б) 0,271 в) 0,513

2. Монета подброшена 6 раз. Найти вероятность того, что 2 раза выпал «орёл».

а) по формуле Бернулли б) по теореме Муавра-Лапласа.

Ответ: приближённо 0,234

3. Вероятность попадания стрелком в цель 0,8. Сколько выстрелов нужно, чтобы наивероятнейшее число попаданий было 20.

Ответ. 25.

4. Вероятность того, что деталь бракованная, 0,01. Найти вероятность, что из 200 будет ровно 4 бракованных.

а) по теореме Муавра-Лапласа. б) по формуле Пуассона.

Ответ. приближённо 0,09.

5. Вероятность повреждения детали 0,002. Найти вероятность, что из 500 деталей повреждено менее 3.

Решить по формуле Пуассона.

Сумма результатов для n=0,1,2. Ответ 0,92.

6. Магазин получил 1000 бутылок. Вероятность, что 1 бутылка разбита 0,003. Найти вероятность того, что разбиты а) ровно две б) более двух в) хотя бы одна

а) 0,224 б) 0,577 в) 0,95

7. На телефонную станцию в среднем поступает 2 вызова в минуту. Найти вероятность того, что за минуту поступит ровно 3 вызова.

Ответ. 0,1815

(Неделя 14) Практика 19. 16.5.2015 134-1 134-2

Повторение.

1. В коробке 6 чёрных и 14 белых шаров. Извлекают 3 шара последовательно. Найти вероятность того, что все они чёрные (белые). Отв. 1/57 (91/285).

2. Две точки брошены на отрезок [0,2]. Найти вероятность, что сумма координат больше 2.

Обратить внимание на необходимость чертежа в таких задачах.

3. На условную вероятность и ф. Байеса. В 1 коробке 1 чёрный и 4 белых шара, во второй 3 чёрных и 2 белых. Случайно берётся 1 коробка и из неё извлекается шар. Он оказался чёрным. Найти вероятность того, что он был из 1-й коробки. (Отв. 1/4).

4.На формулу Бернулли.

Контрольная работа №3. Темы:

9. Комбинаторика 10. Геометрическая вероятность.

11. Условная вероятность, формула Байеса. 12. Формула Бернулли.

(Неделя 15) Практика 20. 19.5.2015 в 134-1, 23.5.2015 в 134-2

Случайные величины. Математическое ожидание, дисперсия.

1. Плотность случайной величины задана так: Найти вероятность того, что . Отв. 3/4. Искать с помощью интеграла.

2. Плотность случайной величины задана так: Найти параметр . Отв. 1/2.

3. Плотность случайной величины задана так: Найти параметр и начертить график функции распределения F(x). Отв. 3/8. .

4. Функция распределения задана: . Найти А,В, плотность распределения.

.

5. Ряд распределения случайной величины:

X
P(X)	1/3	2/3

Найти M[X], D[X]. Отв. M[X] = 5/3, D[X] = 6/27.

6. Плотность распределения случайной величины: . Найти M[X], D[X].

Здесь непрерывная случайная величина. Искать с помощью интеграла. Отв. M[X] = 0, D[X] = 1/6.

7. Найти математическое ожидание случайной величины .

(+ повторение несобственного интеграла и интегрирования по частям) Отв. .

8. Ряд распределения случайной величины:

X
P(X)	0,1	0,2	0,6	0,1

Найти M[X], D[X]. Отв. M[X] = 2,7. D[X] = 0,61.

9. Куб подрасывают 3 раза. Построить ряд распределения случайной величины, равной количеству выпадений грани «1», и найти M[X], D[X].

Решение.

Таблица:

X
P(X)

M[X] = 0,5. D[X] = 90/216 = 5/12.

Дата добавления: 2015-07-16