Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

С молекулярно- кинетической точки зрения давление газа на стенки сосуда обусловлено ударами молекул о них и должны быть связаны с величинами, определяющими движение отдельных молекул (их массами и скоростями).

Для установления такой связи представим, что в сосуде находятся молекулы одноатомного газа, имеющие различные скорости .

Пренебрегая полем тяготения, каждая молекула при ударе о стенку сосуда действует на нее с силой, зависящей от нормальной составляющей скорости. Любая скорость может быть разложена на три компоненты, соответствующие проекции этой результирующей скорости на соответствующую ось. Так, например, скорость молекулы представляется

, (18)

Т.о. если ось Х перпендикулярна стенке сосуда, то для молекулы массой , подлетающей к стенке со скоростью и испытавшей абсолютно упругое столкновение, можно написать, что

, (19)

Если в направлении оси Х в обе стороны движутся молекулы имеющие скорость , то за время об эту стенку площадью S ударятся все молекулы, находящиеся в объеме c основанием S и высотой . Общий импульс силы запишется следующим образом

, (20)

или , (21)

где число молекул в единице объема (концентрация), имеющих скорость . Величина ½ в уравнении (2) отражает тот факт, что количество молекул, движущихся вдоль оси Х в направлении стенки равно половине от всех молекул по этой оси.

Тогда давление, оказываемое эти,,сортом” молекул

, (22)

Аналогично для других молекул перемещающихся вдоль этой оси

, ,… (23)

Сложив левые и правые части последних двух уравнений получим

, (24)

Разделим последнее уравнение на – общее число молекул в единице объема ()

Величина представляет некоторое среднее значение квадратов компонент скоростей вдоль оси Х.

Тогда получаем

, (25)

Использование последнего уравнения затруднено тем, что в него входит не полная компонента молекулярной скорости, а ее компонента по оси х.Однако можно написать следующую систему уравнений

……………………….

Умножим левую и правую части каждого уравнения на число молекул, соответствующих скоростям и сложим левые и правые части:

,(26)

Разделим левую и правую части уравнения на общее число молекул.

Тогда получим

, (27)

Т.к. при хаотическом движении нет преимущественных направлений и все они равновероятны, то можно написать, что

, (28)

С учетом этого получаем и подставляя это в (25)

Получаем окончательный вид основного уравнения кинетической теории

, (29)

Из него вытекает

, (30)

Но величина это средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы. С учетом этого уравнение (30) приобретает вид

, (31)

Это уравнение Клаузиуса.

Умножим левую и правую части уравнения (31) на объем одного моля газа : , в котором число Авогадро,

а . Тогда , а отношение

В результате получаем, что энергия поступательного движения молекулы выражается через температуру:

, (32)

Определение температуры как параметра состояния газа должно основываться на такой физической величине, которая автоматически определяет состояние системы. Ею и является средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

,

Заменяя в уравнении (31) получаем зависимость давления от температуры

, (33)

Используя формулу (32) можно получить формулу для среднеквадратичной скорости молекулы

Отсюда , (34)

Если заменить постоянную Больцмана, а масса молекулы

то , (35)

Дата добавления: 2015-07-16