Геометрический смысл модуля действительного числа

Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через (a, b) расстояние между точками а и b ( — буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если
b > а (рис. 101), оно равно а - b, если а > b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b.

Все три случая охватываются одной формулой:

Пример 1. Решить уравнения:
а) | х - 2| = 3; б) | х + 3,2| = 2; в) | х | = 2,7; г) | x - I = 0.
Решение, а) Переведем аналитическую модель |х - 2| = 3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию (х, 2) = 3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это — точки - 1 и 5 (рис. 103). Следовательно, уравнение имеет
два корня: - 1 и 5.

б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (— 3,2) | = 2 и далее (х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это — точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два корня: -5,2 и - 1,2.

в) Уравнение |x| = 2,7 перепишем в виде |х - 0| = 2,7, или, что то же самое, (х, 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное 2,7. Это — точки - 2,7 и 2,7 (рис. 105). Таким образом, уравнение имеет два корня: - 2,7 и 2,7'.
г) Для уравнения

|х - | = 0 можно обойтись без геометрическои иллюстрации, ведь если | а | = 0, то а = 0. Поэтому х - = 0, т. е. х = .

Пример 2. Решить уравнения:
а) |2х - 6| = 8; б) |5 - Зx | = 6; в) |4x + 1| = - 2.

Р е ш е н и е. а) Имеем

|2x - 6| = |2(x -3)| =|2|. | = 2|x -3|
Значит, заданное уравнение можно преобразовать к виду
2|х - 3| = 8, откуда получаем | х - 3| = 4.
Переведем аналитическую модель | х - 3 | = 4 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию (х, 3) = 4, т. е. удалены от точки 3 на расстояние, равное 4. Это — точки - 1 и 7
(рис. 106). Итак, уравнение имеет два корня: - 1 и 7.
б) Имеем

Поэтому заданное уравнение можно преобразовать к виду

Переведем аналитическую модель на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию

Значит, они удалены от точки , на расстояние, равное 2.

в) Для уравнения | 4х + 1 | = - 2 никаких преобразований делать не нужно. Оно явно не имеет корней, поскольку в левой его части содержится неотрицательное выражение, а в правой — отрицательное число.

Пример 3. Построить график функции у = |х + 2 |.

Решение. График этой функции получается из графика функции у = | х | сдвигом последнего на две единицы масштаба влево (рис. 111).

4. Тождество
Мы знаем, что если .А как быть, если а < 0? Написать у в этом случае нельзя, ведь а < 0 и получится, что , а это неверно, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным.

Чему же равно выражение при а < 0? По определению квадратного корня в ответе должно получиться такое число, которое, во-первых, положительно и, во-вторых, при возведении в квадрат дает подкоренное число, т. е. а². Таким числом будет - а. Смотрите:
1) - а > 0 (еще раз напомним, что а — отрицательное число, значит, - а — положительное число);
2)(-а)²=а².
Итак,

Вам ничего не напоминает конструкция, полученная в правой части равенства? Вспомните, ведь точно так же определяется модуль числа а:

Значит, и | а | — одно и то же. Тем самым мы доказали важное тождество:

В роли а может выступать любое числовое или алгебраическое выражение.

Пример 4. Упростить выражение , если:
а) а - 1 > 0; б) а - 1 < 0.
Решение. Как мы только что установили, справедливо тождество

а) Если а - 1 > 0, то | а - 1| = а - 1. Таким образом, в этом случае получаем = а - 1.
б) Если а - 1 <0, то |а - 1| = -(а - 1) = 1 - а. Значит, в этом случае получаем = 1 - а. в

Оглавление.

I. Введение------------------------------------------------------------------------------1

II. Основная часть.-------------------------------------------------------------------1-13

1. Историческая справка------------------------------------------------------- -3-4

2. Геометрическая интерпретация понятия |а| ---------------------------- -4-5

3. График функции у=f |(х)|-----------------------------------------------------5-8

4. График функции у = | f (х)|--------------------------------------------------8-10

5. График функции у=|f |(х)| | -- ---- ------------------------------------------10-13

III. Заключение.-------------------------------------------------------------------------13

IV. Список литературы ---------------------------------------------------------------14

Дата добавления: 2015-07-16