Лекция. Гильберт кеңістігі және оның мысалдары. Гильберт кеңістігінде Фурье қатары

1 -анықтама. Н – Евклид кеңістігі берілген болсын.Егер Н толық, ақырсыз өлшемді болса, оны Гильберт кеңістігі дейді.

Айталық, Н Гильберт кеңістігінде { e_k }- ортонормал жүйе берілген болсын,

2 -анықтама. - сандарын хÎ Н элементінің Фурье коэффициенттері, ал қатарын Фурье қатары дейді.

Фурье қатарының жинақтылыққа зерттейік. Ол үшін қандайда бір a_k тұрақтыларын алып, қосындыны зерттейік:

Демек,

Егер бұл теңдікте болса, онда

болады. Бұдан түріндегі қосындыларының ішінде х элементке ең жақын тұратыны Фурье қатарының n – дербес қосындысы болатыны көрініп тұр.

Егер екенін есепке алсақ, бұдан

теңсіздігі келіп шығады. Бұл теңсіздікте шекке өтсек,онда

теңсіздігіне ие боламыз. Бұл теңсіздікті Бессель теңсіздігі дейді.

Егер

теңдігі орынды болса, оны Парсеваль теңдігі дейді.

3 -анықтама. Егер{ e_k } жүйеде Н - Гильберт кеңістігінің кез келген х элементі үшін Парсеваль теңдігі орындалса бұл жүйені тұйық жүйе дейді.

Егер{ e_k } жүйе тұйық болса, онда

болады, яғни х тің Фурье қатары сол элементке жинақталады.

1-теорема (Рисс-Фишер). Н -Гильберт кеңістігінде { e_k } ортонормал жүйе және шартты қанағаттандыратын с_k – сандар тізбегі берілген болсын.

Онда Н кеңістігіне тиісті х элементі табылып: с_k -лар х элементінің Фурье коэффициенттері, яғни және болады.

Енді Гильберт кеңістігінің кейбір ішкі кеңістіктерін қарастырамыз.

Гильберт кеңістігі нормаланған кеңістік болғандықтан, оның ішкі кеңістіктерін нормаланған кеңістіктердегі сияқты анықтаймыз.

Демек, Н тің ішкі кеңістігі - тұйық болған сызықтық кеңістіктер.

1 -мысал. Н гильберт кеңістігінен кез келген z элементін аламыз. Егер

М ={x: xÎ Н, x^z }, яғни Н тің z элементке ортогонал болған барлық нүктелері жиыны болса, онда М жиыны Н тің ішкі кеңістігі болады.

Шешуі. Алдымен М сызықты жиын болатынын көрсетейік. x,yÎ М, "l ÎR болсын. Онда

(x+y,z)= (x, z)+(y,z)=0 Þ x+yÎ М;

(l x,z)= l (x,z)=0 Þ l xÎ М;

Енді М нің тұйық болатынын дәлелдейміз. М тұйық Û "x_n Î М және x_n ® а Þ а Î М, яғни М ді тұйық дейміз, егер де М жиынына тиісті " x_n тізбегінің шегі а сол жиынға тиісті болса.

Айталық, x_n Î М және x_n ® а болсын.

Онда, || x_n - а||²=(x_n - а, x_n - а)® 0, n® ¥,

Þ |(x_n - а, x_n - а)|= || x_n||²-2(а, x_n) +||a||² Þ|(а, x_n)|£ || x_n||²-||a||².

Дата добавления: 2015-12-01