Читайте также:
|
Екі вектордың скаляр көбейтіндісi аналитикалық геометрия курсында анықталып, кейiн бұл ұғым Rn кеңiстiгiнде жалпыланған түрде, дәл айтқанда, кез-келген х = (х1, х2..., хn) және у = (у1, у2..., уn) векторлары үшiн олардың скаляр көбейтiндiсi (х,у) түрiнде таңбаланып, және
(х,у) = х1у1+, х2у2. +...хn уn
теңдігімен анықталғаны белгілі.
Ендi скаляр көбейтiндi ұғымын жалпы сызықтық кеңiстiктерде анықтайық.
Е сызықтық кеңістік берілген болсын.
1-а нықтама. Егер Е нің кез келген x,y элементтері үшін анықталған (x,y) - нақты мәнді функция
1) 
2) 
3) 
4) 
аксиомаларын қанағаттандырса, оны скаляр көбейтінді деп атаймыз. 
2-анықтама. Егер Е сызықтық кеңістігінде скаляр көбейтінді анықталған болса оны Евклид кеңістігі деп атайды.
Скаляр көбейтіндінің 1)-4) аксиомаларын пайдаланып, оның мына төмендегі қасиеттерін көрсетуге болады
;
;
;
;
Евклид кеңістігінің кез келген 
элементінің скаляр (х,х) көбейтіндісі оң сан. Сондықтан, бұл (х,х) скаляр көбейтіндіден квадрат түбір - 
алуға болады.
3-анықтама. Е - Евклид кеңістігінің элементіне сәйкес келетін (х,х) скаляр көбейтіндінің квадрат түбірін - оның нормасы деп атаймыз және оны ||x|| символымен белгілеп, мына 
= формуламен өрнектейміз.
1-тұжырым. Кез келген 
үшін
теңсіздігі орындалады.
Бұл теңсіздікті Коши – Буняковский теңсіздігі дейді.
2-тұжырым. = өрнегі норманың аксиомаларын қанағаттандырады.
Салдары. Кез келген Евклид кеңістігі нормаланған кеңістік болады.
Мысалдар.
1-мысал. Rn кеңістігінің кез келген x=(x1,x2,..., xn), y=(y1,y2,..., y n) элементтері ‰шін скаляр көбейтінді 
қосындымен анықталады.
2-мысал. l2 кеңістігінде скаляр көбейтінді 
қосындымен анықталады. Бұл жерде x=(x1,x2,..., xn,...), y=(y1,y2,..., y n,...) Î l2, яғни
.
3-мысал. C[a,b] кеңістігінде скаляр көбейтінді 
интегралымен анықталады.
C[a,b] жиыны скаляр көбейтіндісімен бірге, Евклид кеңістігі болады. Бұл кеңістікті CL2[a,b] символымен белгілейміз.
Дата добавления: 2015-12-01; просмотров: 69 | Нарушение авторских прав