Лекция. Нормаланған кеңістіктер және оның мысалдары

Норма ұғымы бұл аналитикалық геометрия курсында үйренген векторлардың ұзындығы ұғымының жалпыламасы. Мұнда кез келген объектілерден тұратын, сызықтық кеңістік элементтері үшін норма ұғымы енгізіледі. Енді осы анықтаманы берейік:

1-анықтама: Егер Х сызықтық кеңістіктің кез-келген х Х элементі үшіноның нормасы депаталатын || x ||функция анықталған болып:

1) || x || ³ 0 - норма теріс болмаған сан, егер де ||x||=0 болса Þ х= q, керісінше х= q - нөлдік элементтің нормасы ||x|=0;

2) ||ax|| =| a | ||x||, aÎR;

3) "х,y Х элементтері үшін ||x+y||£||x||+||y|| (үшбұрыш теңсіздігі);

аксиомалары орындалса, Х ті нормаланған кеңістік деп атайды.

Егер Х сызықтық кеңістігінде норма анықталған болса, ол метрикалық кеңістікте болады. Мұнда нормаланған кеңістікке тиісті кез келген х,y элементтерінің ара-қашықтығы мына формуламен анықталады

,

яғни кез келген х, у Х үшін бұл функция метрика болады.

Шынында метриканың аксиомалары орынды болатынын тексерейік.

1) "x,y Х үшін z= x-y деп белгілейік. Онда, норманың бірінші аксиомасы бойынша

||z||=||x-y|| ³ 0, егер ||z||=||x-y||=0 болса Û z=0, яғни x= y

Олай болса белгілеу бойынша

r(x,y) ³ 0, егер r(x,y) =0 болса Û x= y

Демек, метриканың бірінші аксиомасы орындалады.

2). "x,y Х үшін ||x-y||=||(-1)y+x||=||(-1)y- (-1)x||= |-1| || y- x||= ||y- x|| Þ.

r(x,y)= ||x-y||=||y-x||= r(y, x). Екінші аксиома да орындалды.

3). "x,y,z Х үшін ||x-y||=||x-z+z-y||=||(x-z)+ (z-y)||£ || x-z||+ ||z-y|| Þ.

||x-y||= r(x,y) £ || x-z||+ ||z-y|| = r(x,z)+ r(z,y).

Метриканың үшінші аксиомасы да орындалды.

Сонымен, кез келген нормаланған кеңістік метрикалық кеңістік

болады.

Мысалдар.

1-мысал: R кеңістігінде ||x||=| arctgx | функциясы норма бола ма?

Шешуі: Норманың аксиомаларын тексерейік.

1) ||x||=|arctgx|³ 0, егер ||x||=0 болса arctgx=0, tg0=x x=0; Керісінше, x=0 үшін arctgх=0 болады.Бұдан ||x||= arctgx=0 x=0 екені шығады.

2)Екінші аксиоманы тексерейік. Шарт бойынша кез-келген aÎR саны үшін ||ax||=|arctgax|=|ax|| болуы керек. Бұл шарттың орындалмайтынын көрсету қиын емес. Мысалыға , сандарын таңдап алсақ, онда

|| a x||=|arctg a x|=|arctg |=

Бірақ, |ax||= Þ || a x|| ¹ |ax||

Екінші аксиома орындалмайды. Олай болса, ||x||=| arctgx | функциясы R кеңістігінде норма бола алмайды екен.

2-мысал: X=C[a,b]- кеңістігіне ([a,b] кесіндісінде анықталған

үзіліссіз функциялар жиыны) тиісті функциялар үшін анықталған мына екі өрнек норма бола ма?

1⁰. , мұндағы a < a+1 < b-1 < b;

2⁰. ;

Шешуі: Бұл сұраққа жауап беру үшін норманың үш аксиомасын зерттеу қажет.

1⁰. Мұнда интеграл астындағы функция абсолют шамасымен қатысады, онда кез келген үзіліссіз x(t) функциясы үшін ||x||₁³ 0 болады.

Егерде болса x(t)=0 бола ма?

Бұл шарттың орынды болмайтынын көрсету қиын емес. Шынында x(t) функциясын мына түрде

таңдап алсақ, онда x(t)Î C[a,b], ||x||₁=0 болады. Бірақ, x(t)¹0. Олай болса, норманың бірінші шарты, яғни ||x||₁=0 Þ x(t)=0 орындалмайды.

Онда, C[a,b] кеңістігінде функциясы норма емес.

2⁰. Мұнда да интеграл астындағы функция модулмен

берілгендіктен, кез келген үзіліссіз x(t) функциясы үшін ||x||₂³ 0 болады.

Егер болса, онда x(t)=0 бола ма?

Мұнда интеграл астындағы функция оң таңбалы және үзіліссіз болғандықтан | x(t) | =0 болады. Бұдан x(t)=0 екені шығады және x(t)=0 функциясы үшін ||x||₂=0 екені айқын. Бірінші аксиома толық орындалады.

Айталық, кез-келген тұрақты сан берілген болсын, ол үшін норманың екінші аксиомасын тексерейік:

Екінші аксиома да орындалды.

Кез келген x(t), y(t) C[a,b] функцияларын алып, үшінші аксиоманы

тексерейік.

Демек, функциясы C[a,b] сызықтық кеңістігінде норма

болады.

3-мысал: X=C¹[a,b] - [a,b] кесіндісінде өзі және бірінші ретті туындысы үзіліссіз болатын функциялар жиынында

функциясы норма бола ма?

Шешуі: Норма шарттарын тексерейік.

1).||x||³ 0 екені айқын.

Егер

болса, онда және

болуы керек. Егер қандай да бір y(t) - оң және үзіліссіз функциясын алып, оның a£ t£ b кесіндісіндегі максималды мәнін нөлге тең, яғни десек, онда барлық tÎ [a,b] үшін y(t)º 0 болады. Бұдан барлық tÎ [a,b] үшін x(t)=0, x ¢ (t)=0 теңдіктері орынды екені келіп шығады. Олай болса, ||x||=0 шарты орынды болады. x(t)=0ÎC¹[a,b] және || 0||=0 екені айқын.

Ендеше, ||x||=0 Û x(t)=0.

2).Кез-келген aÎR нақты саны және x(t) C¹[a,b] үшін

орынды болады.

Демек, ||a x||=|a| || x|.

3). x(t), y(t) C¹[a,b] берілген болсын. Онда

= ||x||+||y||

болады. Үшінші аксиома да орындалды.

Олай болса,

функциясы C¹[a,b] кеңістігінде норма болады.

---

Дата добавления: 2015-12-01