Читайте также:
|
|
Об исчислении предикатов студенты знакомятся в обзорном порядке. При построении аксиоматической теории предикатов вводится список предикатных переменных, предикатных символов и простых формул, аналогичный рассмотренному ранее. Формулами исчислений предикатов являются:
1. простые формулы;
2. если Φ и Ψ – формулы, то ùΦ, (Φ Ψ), x Φ – формулы;
3. других формул нет.
Набор схем аксиом исчисления предикатов включает в себя три схемы аксиом исчисления высказываний, кроме того, еще две схемы аксиом:
u(Φ(u) Φ(t)), где Φ(u) – формула, t - переменная, свободная для u в Φ(u) т.е., никакое свободное вхождение t в Φ не лежит в области действия квантора u;
б) u (Φ ψ) (Φ u Ψ) где Φ не содержит свободно u (правило обобщения).
Правил вывода два:
1. Из Φ Ψ и Φ следует Ψ
2. Из Φ следует u Φ
Как и в исчислении высказываний вводится понятие вывода, выводимости из гипотез Г и т.п.
При изучении исчисления предикатов следует обращать внимание на новые моменты, возникающие в сравнении с исчислением высказываний.
Например, теорема о дедукции читается так.
Пусть Г,Φ├Ψ и пусть существует такой вывод Ψ из Г и Φ, в котором ни при каком применении правила обобщения к формулам, зависящим от Φ, не связывается квантором никакая свободная переменная формулы Φ. Тогда
Г├Φ Ψ
Как и в исчислении высказываний справедлива теорема о том, что выводимыми в исчислении предикатов являются тавтологии, и только они.
Контрольные вопросы и упражнения
1. Как истолковать с точки зрения алгебры предикатов системы уравнений, неравенств? Совокупности неравенств?
2. Выяснить геометрический смысл высказываний и , где х, у определены на вещественных числах.
3. Свободна ли переменная для в формулах:
а) ;
б) .
4. Записать с помощью логико-математической символики полное решение следующих уравнений и неравенств:
а) ; в) ;
б) ; г) .
5. Записать с помощью логико-математической символики:
а) определение предела в точке;
б) утверждение, что каждое квадратное уравнение с действительными коэффициентами, у которого дискриминант строго положителен, имеет точно два вещественных корня;
в) утверждение, что две различные прямые пересекаются не более чем в одной точке;
г) определение последовательности функций , сходящейся на интервале .
6. Записать с помощью логико-математической символики следующие утверждения и построить их отрицания, используя законы алгебры предикатов:
а) определение непрерывности функции в точке ;
б) определение непрерывности функции на ;
в) аксиому параллельности евклидовой планиметрии;
г) определение последовательности функций , равномерно сходящейся на .
7. Записать с помощью логико-математической символики достаточное и необходимое условия существования действительного корня для уравнения . Равносильны ли они соответственно таким условиям:
а) ;
б) .
8. Построить выводы:
а) ;
б) .
ЧАСТЬ 2
Вторая часть содержит индивидуальные задания, предусмотренные рабочей программой курса. Приведены задачи вычислительного и теоретического характера.
Дата добавления: 2015-11-14; просмотров: 93 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Язык алгебры предикатов. | | | ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ №1 |