Язык алгебры предикатов.

Алгебра предикатов обладает большими возможностями в символизации обычного языка. Для записи определений или утверждений на языке алгебры предикатов не существует механических правил. В каждом конкретном случае следует передать символ утверждения с помощью символов языка предикатов.

Например, тот факт, что число А является пределом последовательности { а _n}записывают следующим образом: ε((ε>0) n₁ n((n>n₁) (| a _n-A|<ε))). Здесь n,n₁ определены на натуральных, а ε - на действительных числах.

В настоящее время зачастую применяют упрощенную запись на языке математической логики. Под квантором указывается область, откуда следует выбирать объект, на который распространяется кванторизация. Тот факт, что число А является пределом {a_n} записывают так:

(A=lim{ a _n}) (ε>0) (k N) (i NÙi>k)(| a _i-A|<ε)

Приведем определение непрерывности функции в точке (f(x)-непрерывна в точке a) (ε>0) (δ>0) (x R)((|x-a|< δ (|f(x)-f(a)|<ε))

Правая часть последнего соотношения на обычном языке алгебры предикатов записывается следующим образом:

ε((ε>0) δ(δ>0) Ù x ((|x- a |<δ) (|f(x)-f(a)|<ε))

Запись утверждений на языке математической логики позволяет преобразовывать их к равносильной, но более удобной с какой-либо точки зрения форме, используя аппарат алгебры предикатов.

Пример. Тот факт, что последовательность { a _n} имеет конечный предел, записывают в виде

A ε((ε>0) n₁ n(n>n₁) (a _n-A)<ε))),

что равносильно A ε(ù (ε>0) n₁ n(ù (n>n₁) (| a _n-A<ε|)))

Отсюда, следуя правилам алгебры предикатов, легко получить отрицание этого высказывания A ε((ε>0)Ù n₁ n((n>n₁)Ù(| a _n-A|)<ε)). Как и выше, n,n₁ определены на натуральных, а ε,A - на действительных числах.

Дата добавления: 2015-11-14