Алгоритм екстраполяції.

Методи екстраполяції — найбільш поширені та опрацьовані методи прогнозування. Використання екстраполяції має своїм підгрунтям припущення про те, що аналізований процес зміни змінної у — сума двох складових — регулярної і випадкової:

y (x) = f (ā, x) + η(x),

де: х — незалежна змінна (найчастіше час);

f — регулярна складова;

η — випадкова складова;

ā — вектор параметрів, незмінних за час прогнозу.

Регулярна складова f є також трендом, рівнем, детермінованою основою процесу, його тенденцією.

Випадкова складова h зазвичай вважається некорельованим випадковим процесом із нульовим математичним сподіванням, визначає точність прогнозування.

У задачах прогнозної екстраполяції для зменшення впливу випадкової складової і зниження складності математичного опису застосовуються процедури згладжування та вирівнювання вихідних статистичних рядів.

Згладжування націлене на мінімізацію випадкових відхилень точок ряду від тренда процесу. Проводиться за допомогою підбору апроксимуючих функцій.

Вирівнювання використовують для більш зручного представлення вихідного ряду і перетворення емпіричної залежності f (x, a) до вигляду:

Y = A + BX. (13)

Найбільш загальними способами вирівнювання є логарифмування та заміна змінних. Застосовуються такі конкретні способи:

1. Для степеневої функції y = ax^b — log y = log a + b log x і заміну змінних: X = log x, Y = log y, в результаті приходимо до (13), де A = log a, B = b.

2. Для показникової функції y = ae ^bx — log y = log a + bx log e і заміна X = x, Y = log y, тоді приходимо до (13), де A = log a, B = b log e.

3. Для залежностей виду: а) і б) викорис­товуються перетворення:

а) , тоді , де А = а, B = b, X = x;

б) , , тоді , де A = b, B = a.

4. Для емпіричної залежності застосовуються перетворення вирівнювання , . Тоді у формулі (13) коефіцієнти матимуть вигляд: A = a, B = b.

Після вибору апроксимуючої функції треба визначити її параметри. Поряд із методом найменших квадратів може бути застосований метод середніх, заснований на мінімізації алгебраїчної суми відхилень точок ряду від апроксимуючої кривої. У цьому випадку критерій оптимальності записується у вигляді:

,

де: y_i, x_i — ордината та абсциса i -ї точки ряду; а ₁, а ₂, … а_m — параметри апроксимуючої кривої.

На практиці для парних n, зокрема при n = 2, цей метод реалізується в такий спосіб: усі точки емпіричного ряду розподіляються за зростанням аргументу х і отримується система такого виду:

(14)

Склавши обидва рівняння системи і розділивши їх на n, отримуємо:

. (15)

З (5.14) та (5.15) отримуємо:

; .

Математичну основу методів екстраполяції та інтерполяції складає наближення функцій чисельними методами аналізу. Задача про наближення формулюється в загальному випадку так дану функцію f (x) потрібно наближено замінити узагальненим поліномом:

,

щоб відхилення функції f (x) від Q (x) на заданій множині точок ряду було найменшим. Найбільш важливими для практики є степеневий поліном виду:

.

Для даної функції f (x) потрібно знайти поліном Q(x), можливо степеня, нижчого за m, що приймає в заданих точках x_i (i = 1, 2, …, n) ті ж значення, що й функція f (x), тобто такий, що Q(x) = f (x) (i = 1, 2, …, n).

Існує значна кількість різноманітних многочленів, що дають можливість здійснити інтерполяцію та екстраполяцію за різними формулами наближення. Це формули Лагранжа, Чебишева, Ньютона, Стірлінга, Лежандра, Лаггера та ін. Можливо й застосування методів гармонійного аналізу.

Важливо зазначити, що задачі екстраполяції та інтерполяції мають достатнє число порівняно нескладних чисельних реалізацій і цілком доступні для розв’язання.

Статистичні методи прогнозування, що враховують взаємні кореляційні зв’язки між різноманітними значеннями однієї й тієї ж випадкової величини, засновані на використанні авторегресійних методів. Алгоритми цих методів порівняно нескладно реалізуються чисельними методами.

Інші методи класифікації, наведені на рис. 4, реалізуються в основному експертним шляхом.

Для швидкозмінюваних процесів застосовують адаптивні методи короткострокового прогнозування.

Застосування методів прогнозування є основним інструментом економічної діагностики, використовуваної на об'єкті спостереження, виконуваного СМ. Варіанти діагностики формуються за результатами оперативного аналізу господарської діяльності, одержувані з використанням СМ. Економічна діагностика служить для обгрунтування рішень по регулюванню виробництва, а також надає інформацію для планування. Економічна діагностика дозволяє вирішити наступні задачі:

¾ оцінити стан господарської системи об'єкта в умовах використання обмеженої інформації;

¾ оцінити режим функціонування, його ефективність і на цій основі - стабільність роботи підприємства;

¾ визначити можливі варіанти економічної динаміки, виходячи зі сформованої і перспективної структури зв'язків між показниками;

¾ оцінити можливі наслідки управлінських рішень для економічного об'єкту.

Таким чином, в цілому економічна діагностика спрямована на визначення стана господарської діяльності на об'єкті й оцінку економічних наслідків, зв'язаних із реалізацією управлінських рішень.

Найважливішим прийомом економічної діагностики є порівняння досягнутих показників господарювання об'єкта з планом, попереднім періодом, нормативом, з показниками інших об'єктів.

Нехай a_t і a_t-1 - показники роботи об'єкта за періоди t і t-1. Приріст значень цих показників за період (t-1, t) визначається як різниця D а _{(t-1, t)}:

D а _{(t-1, t)} = a_t - a_t-1,

Відносний темп приросту показника визначається значенням P_t:

а зміна темпу приросту значення показника за період (t-1, t) визначає показник Р_{(t-1, t)}:

Показники господарської діяльності об'єкта для проведення економічної діагностики зручно зводити в матрицю А, яка складається з М рядків і N стовпців, де М - періоди діагностики, N - число показників.

.

Рішення задач економічної діагностики виконуються за допомогою матриць росту і приросту.

Дата добавления: 2015-11-14