Читайте также:
|
|
У самому загальному випадку вимірювання — це порівняння вимірюваної величини з побудованою в той чи інший спосіб шкалою можливих значень цієї величини; результат вимірювання ніколи не може являти собою точне значення вимірюваної величини, а є лише вказівкою на вузький інтервал її можливих значень. Вимірювання — процес, що полягає у порівнянні вимірюваної величини з деяким її значенням, прийнятим за норматив. У даному контексті терміном “вимірювання” позначається будь який спосіб знаходження значення ВВ, отриманого від джерела інформації. Джерелом інформації можуть бути: дані, отримані від експерта; дані, передані по каналах зв'язку; результати розрахунків показника; дані отримані з бази даних, тощо.
Вимірювана величина завжди визначається з деякою помилкою (похибкою). Ця помилка може бути інструментальною — при вимірі, виникати при реєстрації або перезапису даних, при передаванні по каналах за наявності перешкод. Так, при повідомленні про результати виконання виробничої програми в одиницях виробів, здавалося б, помилки не може бути. Але результати можуть бути отримані в деякому інтервалі часу, через що й можлива помилка.
Система моніторингу, видаючи інформацію про систему ВВ, використовує деякі джерела одержання цієї інформації, яка може бути опрацьована з різним ступенем складності. Вхідна відносно СМ інформація може формуватися або утворюватися в різні способи, а джерелами її можуть слугувати: система звітності організації, дані, одержувані від інших систем по каналах зв’язку, результати вимірювання спостережуваних величин і характеристик об’єктів, повідомлення про явища природи, ринкова інформація тощо. Але я кою б конкретно не була вхідна інформація, вона відображає фактично існуючі явища, реальні закономірності та факти. В основі отримання всіх цих характеристик лежать дослідні дані, експериментальні дані, фіксація реальних явищ, дані, отримувані у вигляді повідомлень або в результаті вимірів.
Результати вимірів і повідомлень у реальній дійсності мають імовірнісну природу і залежно від форми подання даних (неперервна або дискретна) визначаються законом розподілу ВВ, імовірністю достовірності даного повідомлення або іншими статистичними характеристиками. На практиці вхідна інформація базується на статистичному матеріалі обмеженого обсягу (два-три десятки спостережень). Така обмеженість звичайно пов’язана з дорожнечею і складністю кожного вимірювання. Цього матеріалу часто буває недостатньо для визначення закону розподілу випадкової величини, проте існуючі дані можуть бути оброблені та використані для одержання деяких відомостей про ВВ. У таких випадках можна говорити про одержувану оцінку ВВ. Якщо ця оцінка виражається одним числом, то вона називається точковою. Щоб охарактеризувати точність і надійність точкової оцінки ВВ, у математичній статистиці користуються так званими довірчими інтервалами і довірчими ймовірностями.
Визначимо довірчий інтервал і довірчу ймовірність.
Нехай для значення ВВ отримана точкова оцінка a. Якщо позначити через e можливу помилку точкової оцінки і вважати, що з імовірністю b ця помилка не перевищить ½e½, то:
є довірчим інтервалом, а значення b
називають довірчою ймовірністю визначення істинного значення ВВ, рівного ā.
Значення та називають довірчими межами.
Довжина довірчого інтервалу дорівнює 2e. Для визначення чисельних значень довжини довірчого інтервалу і довірчої ймовірності потрібно знати (або мати гіпотезу) функцію розподілу значення ВВ. Нехай ВВ розподілена за нормальним законом з функцією розподілу F (х):
(4)
і ми хочемо визначити математичне сподівання ВВ із довірчою ймовірністю b.
За формулою визначення ймовірності випадкових величин, розподілених за нормальним законом влучення на ділянку, симетричну щодо центру розсіяння m, знаходимо:
,
де — середнє квадратичне відхилення.
З рівняння знаходимо значення e:
, (5)
де arg Ф (х) — функція, обернена до Ф (х), тобто таке значення аргументу, при якому нормальна функція розподілу дорівнює Ф (х).
З формули 5 випливає, що між значеннями 2e і b існує функціональна залежність і, задавши e, ми можемо визначити b і навпаки. У цілому ряді додатків важливо визначити оптимальне співвідношення між e і b. Скористаємося теоретико-інформаційним критерієм I при визначенні цього співвідношення і обчислимо:
, (6)
де Н 1 і Н 2 апріорна та апостеріорна ентропія визначення значення ВВ з урахуванням прийнятого співвідношення.
Величина Н 1 не залежить від співвідношення між e і b, а Н 2 визначається відповідно за формулою:
, (7)
де Н b і Н 1-b — умовні ентропії при прийнятті гіпотез про влучення та невлучення ВВ у довірчий інтервал;
, (8)
де: f (х) щільність розподілу ВВ при влученні її у довірчий інтервал;
D — «ділянка нечутливості».
При застосуванні методу довірчих інтервалів у випадку невлучення ВВ у довірчий інтервал (з імовірністю 1 – b) ми використовуємо лише інформацію про те, що ВВ не належить довірчому інтервалу, що зменшує апріорну ентропію Н 1 на величину Н b. Отже:
; (9)
з огляду на (6) — (3.7), одержуємо
. (10)
Для обчислення Н b необхідно з’ясувати закон розподілу f (x) ВВ. Вважаючи закон розподілу усіченим нормальним і використовуючи метод довірчих інтервалів, одержуємо вираз для усіченого нормального закону:
Підставляючи значення f (x) у 3.8, отримаємо:
, (11)
де F -1(b) — обернена функція Лапласа.
У табл. 1 наведено значення інтеграла, що входить у вираз 11.
Таблиця 1
Значення інтеграла у виразі 11
Z | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | ||||||
0,001 | 0,0022 | 0,0082 | 0,019 | 0,0356 | 0,0579 | 0,088 | 0,1176 | |||||||
Z | 0,9 | 1,0 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 | ||||||
0,1526 | 0,1891 | 0,225 | 0,2509 | 0,2936 | 0,323 | 0,3188 | 0,3704 | |||||||
Z | 1,7 | 1,8 | 1,9 | 2,0 | 2,1 | 2,2 | 2,3 | 2,4 | ||||||
0,3883 | 0,4027 | 0,4139 | 0,4224 | 0,4287 | 0,4332 | 0,4365 | 0,4387 | |||||||
Z | 2,5 | 2,6 | 2,7 | 2,8 | 2,9 | 3,0 | ||||||||
0,4402 | 0,4411 | 0,4418 | 0,4422 | 0,4424 | 0,4426 | |||||||||
Для обчислення значення Н 1 зручно навести у вигляді:
.
Ентропію Н 1 та Н b зв’язує вираз 9, але Н b < Н 1, оскільки всі обчислення спрямовані на зменшення невизначеності значення ВВ.
З урахуванням виразів (10) — (12) одержуємо значення критерію I:
. (12)
При цьому значенні e і b пов’язані між собою виразом (5).
У практичному діапазоні значень , оптимальне значення довірчої ймовірності має високе значення b opt = 0,96 ¸ 0,98. Тому інформативнішими є дані про значення ВВ, що обчислюються з високою довірчою ймовірністю. Значення довірчого інтервалу визначається при цьому відповідно до (5).
У реальних додатках до СМ завжди висуваються вимоги щодо точності визначення значення ВВ. Найчастіше в результаті вимірів визначається ряд значень х 1, х 2,…, хn ВВ, після обробки якого може бути визначений ряд характеристик ВВ (ми припускаємо, що вона розподілена за нормальним законом).
Нехай в результаті обробки ряду значень х 1, х 2,….., хn визначено щільність закону розподілу ВВ:
. (13)
При цьому виявилося, що s1 > sзад або а 1 ¹ а зад, де а зад і
sзад — задані значення щільності розподілу ВВ, що висуваються до СМ.
У цьому випадку для виконання вимог необхідно провести додаткову серію вимірів значень ВВ. Нехай у результаті проведення додаткової серії вимірів отримана щільність розподілу
. (14)
Аналогічно можна трактувати два виміри однієї й тієї ж ВВ, виконані різними засобами.
Задача полягає у визначенні результуючого закону розподілу ВВ. Результати вимірів — розподіли f 1(x) і f 2(x) — будемо називати першою і другою вибіркою відповідно. За наявності тільки першої вибірки природно думати, що вона являє собою випадкову величину з апріорною щільністю розподілу j1(х) при a = 0. Тоді:
.
За цієї умови розподіл другої вибірки j2(х) матиме вигляд:
,
де с =½ а 2 – а 1½, а початок координат відповідає умові одержання першої вибірки.
Скористаємося формулою Байєса і одержимо:
. (15)
Підставляючи у формулу (15) значення j1(х) і j2(х), після перетворення одержимо:
. (16)
Як бачимо, отриманий вираз описує нормальний закон розподілу з параметрами:
; . (17)
Оскільки обидві вибірки відносяться до однієї й тієї ж ВВ, то, за рівності в них числа вимірів n, варто очікувати s1 = s2, при цьому:
. (18)
З формули (18) випливає, що шляхом використання додаткової вибірки можна збільшити результатну точність вимірювання, причому не обов’язково вирівнювати потужності множин вимірів в обох вибірках. Навіть якщо в другій вибірці використано меншу кількість вимірів, ніж у перший, і s1 > s2, усе одно, відповідно до, s0 < min[s1, s2] і результат додаткової вибірки підвищить результатну точність визначення значення ВВ.
Будь-які відомості про значення ВВ утворюються в результаті її вимірювання. Головною ознакою вимірювання є одержання інформації про кількісне значення ВВ, проте форма подання результату виміру не може визначатися безвідносно до того, для чого необхідний результат цього виміру.
Результат виміру має обмежуватися деяким полем допуску ± D, в який вкладаються похибки вимірювання. Припущення про існування такої граничної похибки, яка не може бути перевищена, є неприйнятним, оскільки значення «максимальної спостережуваної похибки» є випадковою величиною, яка монотонно зростає зі збільшенням числа вимірів.
Найповнішою характеристикою опису похибки визначення ВВ є завдання розподілу ймовірності розміру похибки. При цьому використовується завдання щільності розподілу ймовірностей помилок (Н *). Ці величини визначаються законом розподілу помилки. Найчастіше використовуються рівномірний і нормальний закони розподілу. Розглянемо ці випадки.
Дата добавления: 2015-11-14; просмотров: 68 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Критерії оцінки якості функціонування системи моніторингу. | | | Нормальний закон розподілу. |