Регресійний алгоритм прогнозування.

Нехай є множина значень двох випадкових змінних Х { x_i } і Y { у_i }, є припущення про наявність між ними взаємного зв’язку лінійного характеру з випадковими відхиленнями. При цьому:

; ;

; ,

де: і — середні арифметичні значення,

σ _х і σ _y — середньоквадратичні відхилення змінних;

n — число елементів множини значень.

Коефіцієнт кореляції r визначається за формулою:

. (1)

Коефіцієнт кореляції визначає ступінь розсіювання точок y_i щодо лінії:

,

яка зветься лінією регресії y по x.

Коефіцієнт кореляції задовольняє умові:

0 < | r | < 1,

при r = 0 кореляційний зв’язок між y та x відсутній, при r = ±1 між y та x існує функціональна залежність.

Коефіцієнт називається коефіцієнтом лінійної регресії і визначає кут нахилу лінії регресії до осі x.

Позначимо коефіцієнт лінійної регресії через b, тоді, підставляючи значення (1), отримаємо:

. (2)

Позначимо центроване значення змінних:

; . (3)

Відхилення фактичних значень х_і та у_і від лінії регресії можна визначити за формулою:

; (4)

використовуючи (5.2) і (5.4), можна записати:

Дисперсія відхилень випадкової величини від лінії регресії оцінюється величиною:

.

Якщо рівняння регресії має вигляд:

,

то дисперсія значень залежної змінної визначатиметься диспер­сіями параметрів a і b. Ці дисперсії визначаються виразами:

; .

Тоді дисперсія регресії залежної змінної в заданій точці х = х_r визначиться з виразу:

.

Для одержання сумарної дисперсії необхідно врахувати ще й випадкові відхилення точок щодо лінії регресії, при цьому сумарна дисперсія визначиться формулою:

.

Тоді довірчий інтервал для прогнозу значень y заданій точці x_r визначиться величиною:

,

де t _β — значення розподілу Ст’юдента при заданій довірчій ймовірності β і n 2 ступенях вільності.

Для знаходження значень a і b рівняння регресії використаємо згладжування експериментальних залежностей X і Y за методом найменших квадратів, при цьому:

; ,

де: ; .

Підставляючи ці значення в рівняння регресії, одержимо:

або, переносячи до лівої частини рівняння:

. (5)

Розглянемо застосування методу регресивного аналізу на прик­ладі побудови двомірної регресивної моделі процесу. Таким процесом може бути визначення ринкової ціни виробу (у) у залежно від витрат вартості (х ₁), продуктивності праці (х ₂). У цьому випадку задано сукупності значень:

y = { y ₁, y ₂, … y_n };

x ₁ = { x ₁₁, x ₁₂, … x _{1 n} };

x ₂ = { x ₂₁, x ₂₂, … x _{2 n} }

і лінійна регресивна модель виду

y = a + b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂.

Для визначення параметрів моделі a ₁, b ₁ і b ₂ використовуємо метод найменших квадратів:

. (6)

Обчислимо частинні похідні L по всіх трьох параметрах і дорівняємо їх до нуля:

; ; .

Одержимо систему лінійних рівнянь:

З рівняння (7) знаходимо:

. (10)

Підставимо (10) у (8) і (9), отримаємо:

(11)

(12)

Коефіцієнти регресії одержимо, розв’язавши систему рівнянь (11) і (12):

Коефіцієнти b ₁ і b ₂ показують, наскільки зміниться у при зміні відповідно x ₁ або x ₂ на одиницю.

Розглянуті статистичні методи також вимагають захисту від непередбачених і важко виявлених раптових змін тимчасового ряду. В тимчасовому ряду з'являються стрибки, що мають високий ступінь зашумлення, що затрудняє їхнє виявлення. Для подолання цого недоліку досить ефективного застосування методу кумулятивних сум (CUSUM), при цьому вдається обминути цей недолік.

Дата добавления: 2015-11-14