Читайте также: |
|
Рассмотрим следующую основную задачу ЛП:
при ограничениях:
.
Перепишем ограничения этой задачи в векторной форме:
, (1.3)
где – k-мерные вектор-столбцы, составленные из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы ограничений основной задачи:
Так как векторы P jявляются k-мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может быть больше числа k.
Опорный план называется невырожденным, если он содержит ровно k положительных компонент, в противном случае он называется вырожденным.
· среди векторов выбрать k линейно независимых;
· найти опорный план, связанный с этой системой векторов;
· вычислить значение целевой функции для опорного плана.
При достаточно большом количестве переменных исходной задачи такой перебор крайне затруднителен. Американский математик Данциг предложил алгоритм разумного перебора опорных планов, получивший название симплекс-метода. Он позволяет найти вершину многогранника решений и определить, является ли она точкой экстремума целевой функции. Если нет, то обеспечивается переход в соседнюю вершину, где значение целевой функции больше предыдущего. Через конечное число подобных шагов точка экстремума функции z либо оказывается найденной, либо признается несуществующей. Симплекс-метод используется тогда, когда уже получено некоторое допустимое решение для ограничений системы (1.2), что равносильно приведению общей задачи ЛП к каноническому виду.
Рассмотрим общую схему симплекс-метода применительно к невырожденному случаю. Пусть известен некоторый опорный план . Для простоты изложения, не нарушая общности, будем полагать: с системой независимых векторов
Если из некоторой системы векторов можно составить единичную матрицу, то такую систему векторов называют базисом.
Система единичных векторов является базисом. Соответствующие базису переменные будем называть базисными переменными, а остальные – свободными переменными.
Из системы ограничений задачи в векторной форме (1.3) имеем:
. (1.4)
Обозначим через значение целевой функции, вычисленное для опорного плана :
. (1.5)
Разложение векторов по базису имеет вид:
. (1.6)
Для фиксированного выберем некоторое число и вычтем из (1.4), тогда получим:
Введем обозначение
Если выбрать из условия
, (1.7)
то – план исходной задачи. Обозначим через значение целевой функции, вычисленное для этого плана, которое имеет вид:
. (1.8)
Обозначим через z (j) следующее выражение:
.
Вычтем из (1.5), получим:
Отсюда и (1.8) имеем:
,
где .
Таким образом, пришли к следующему условию оптимальности.
Пусть для некоторого номера выполняется соотношение
.
Если среди чисел нет положительных, то план не является опорным, так как содержит k+1 отличную от нуля компоненту. В этом случае целевая функция исходной задачи не ограничена на множестве ее планов.
Если же для некоторых индексов , то покажем, что план – опорный план. Для этого достаточно показать, что система векторов линейно независима (b – индекс i, на котором достигается минимум в (1.7)).
Покажем это от противного. Пусть указанная система векторов линейно зависима. Тогда можно указать числа , среди которых имеются ненулевые такие, что
Подставляя в эту формулу разложение вектора из (1.6), получим следующее:.
Система векторов линейно независима, а . Это значит, что последнее соотношение выполняется лишь при . Получили противоречие.
Дата добавления: 2015-11-14; просмотров: 141 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Графический метод | | | Алгоритм симплекс-метода |