Читайте также:
|
|
При интегрировании функций, содержащих произведения, логарифмы и обратные тригонометрические функции, бывает удобно воспользоваться способом интегрирования по частям. Выведем формулу интегрирования по частям: дифференциал от произведения равен ; в результате интегрирования имеем или . Откуда: .
Нахождение интеграла сводится к нахождению интеграла , который может оказаться или проще данного, или даже известным.
При практическом использовании формулы интегрирования по частям данное интегральное выражение представляют в виде произведения двух сомножителей, которые обозначают u и dυ. Множитель u стараются выбирать так, чтобы du было проще, чем u.
Рассмотрим частные примеры интегрирования по частям.
Пример 1. Вычислить .
РЕШЕНИЕ:
Интеграл содержит произведение двух функций x и . Способ подстановки не даёт возможности найти этот интеграл. Обозначим x=u, ; тогда dx = du; . Применим формулу интегрирования по частям:
.
Приняв x=u, получили и интеграл оказался проще, чем .
Если же в данном интеграле сделать другую замену: , , то можно убедиться, что полученный интеграл окажется сложнее исходного, т.е. замена окажется неудачной. Умение определить целесообразность той или иной замены приходит с приобретением навыка.
Пример 2. Вычислить .
РЕШЕНИЕ:
.
Пример 3. Вычислить . Иногда формулу интегрирования по частям приходится применить дважды.
РЕШЕНИЕ: Имеем:
.
Для нахождения полученного в правой части равенства интеграла снова интегрируем по частям (см. решение примера 1):
.
В результате получаем окончательный ответ:
.
Пример 4. Вычислить .
РЕШЕНИЕ:
.
Определённый интеграл
Определение. Если F(x)+C – первообразная функция для f(x), то приращение F(b) – F(a) первообразных функций при изменении аргумента x от x=a до x=b называется определённым интегралом и обозначается символом , т.е. , где a – нижний предел, b – верхний предел определённого интеграла.
Функция f(x) предполагается непрерывной в промежутке изменения аргумента x от a до b.
Для вычисления определённого интеграла находят:
1) неопределённый интеграл ;
2) значение интеграла F(x)+C при x=b, C=0, т.е. вычисляют F(b);
3) значение интеграла F(x)+C при x=a, C=0, т.е. вычисляют F(a);
4) разность F(b) – F(a).
Процесс вычисления виден из формулы
.
Данное равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.
Под F(x) в формуле понимают простейшую из первообразных функций, у которой C=0.
Так как приращение F(b) – F(a) равно некоторому числу, то определённый интеграл есть число (в отличие от неопределённого интеграла, который есть совокупность функций).
Геометрический смысл определённого интеграла заключается, очевидно, в том, что есть площадь криволинейной трапеции, определяемой графиком функции f(x) на отрезке [ a, b ].
Основные свойства определённых интегралов
При рассмотрении будем предполагать, что функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ].
1. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:
.
2. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла:
,
где k – постоянная величина.
3. Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций:
.
Дата добавления: 2015-11-14; просмотров: 49 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Примеры интегрирования подстановкой | | | Если a, b, c принадлежат интервалу, на котором функция f(x) непрерывна, то |