Шесть функций сложного процента

Первая функция сложного процента – это фактор будущей стоимости текущего (сегодняшнего) капитала.

FV = PV*(1+i)^n

(1.4)

FV – это будущая стоимость текущего капитала (future value);

PV – текущая стоимость капитала (present value);

i – ставка процента;

n – количество периодов.

В каких случаях используется формула сложного процента:

Мы имеем какую-то сумму денег. Мы хотим положить ее в банк под определенный процент, на определенный срок (год, месяц, квартал). При этом мы хотим знать: сколько будут стоить наши деньги в конце срока вклада.

Пример. Допустим у нас есть 1 руб. и мы кладем его в начале года в банк, под 10% годовых на 5 лет. Сколько будет стоить этот руб. через 5 лет?

FV = 1 руб.*(1+10%)⁵ = 1,61 руб.

Пример. Вы положили деньги в банк 1000 руб. под 24% годовых на 1 год. Аккумулирование (т.е. начисление %) происходит два раза в год по фиксированной годовой ставке. Надо определить периодическую ставку (i_p), будущую стоимость текущего капитала (FV), величину дохода на капитал (Д) и фактическую годовую ставку (i_ф).

Определим периодическую ставку, в данном случае – полугодовую: i_p= i_г/2 = 24% /2 =12%

Определим будущую стоимость текущего капитала: FV =1000(1+0,12)² = 1254,4 руб.

Определим величину дохода на капитал: Д = FV – PV = 1254,4 – 1000 = 254,4 руб.

Определим фактическую годовую ставку: i_ф= (FV–PV)/PV=(1254,4–1000)/1000=0,2544=25%

Фактическая ставка включает начисленные сложные проценты, поэтому она всегда больше, чем номинальная ставка. Кроме того, чем больше периодов начисления процентов в году, тем эта разница будет существеннее.

Пример. Через сколько лет произойдет удвоение капитала, если известно, что годовая номинальная ставка, под которую положили деньги в банк равна 12%?

Решение этой задачки основано на использовании так называемого «правила 72-х». Согласно этому правилу, количество лет, через которое произойдет удвоение вложенной суммы, определяется по формуле: 72 / номинальная годовая ставка %

72 / 12% = 6 лет.

Правило дает удовлетворительный ответ при ставке, находящейся в диапазоне от 3 до 18%.

Вторая функция сложного процента – фактор будущей стоимости аннуитета.

Она предназначена для определения будущей стоимости равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же суму денег (РМТ) в течение какого-то времени(1,2,3 года и т.п.).

РМТ (payment) – единовременный платеж в периоде k. (периоды одинаковые).

Серия таких платежей называется аннуитетом.

Различают обычный и авансовый аннуитет.

Будущая стоимость обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода). Его будущая стоимость выражается в формуле:

FVк =	(1+i)^n -1	*PMT	(1.5)
i

Будущая стоимость авансового аннуитета (платежи в конце каждого периода). Будущая стоимость этого аннуитета выражается следующей формулой:

FVн =[	(1+i)^n^+1 -1	-1]	*PMT	(1.6)
i

Пример. Чтобы накопить себе на автомобиль, вы решили откладывать в банк по 1000 $ каждый год при 12% годовых в течение 5 лет. Как лучше откладывать деньги (в конце или в начале года), чтобы получить через 5 лет большую сумму и сколько денег окажется на вашем счете через 5 лет?

Определим, сначала, сколько денег мы получим через 5 лет, если будем откладывать в конце каждого года:

FVк =	(1+12%)^5 -1	*1000$	=6353 $
12%

Теперь определим, сколько денег мы будем иметь в том случае, если вклады делать в начале каждого года?

FVн = [	(1+12%)^5+1 -1	-1]	*1000$	= 7115 $
12%

Таким образом, получается, что вкладывать в начале каждого года гораздо выгоднее, чем в конце.

Третья функция сложного процента – фактор фонда возмещения.

Фактор фонда возмещения – это величина платежа, который необходимо депонировать (вкладывать) в каждом периоде при заданной ставке годового процента, чтобы в последнем периоде получить на счете определенную (желаемую) сумму. Т.е. допустим, мы хотим получить 1 миллион рублей через пять лет. Для этого можно положить деньги в банк. Нам известна величина банковского процента. Фактор фонда возмещения (ФФВ) определяет величину периодических равновеликих платежей, которые нам придется платить эти 5 лет. То есть ФФВ - это то же РМТ.

Различают Фактор Фонда Обычного Возмещения и Фактор Фонда Авансового Возмещения, в зависимости от того, когда (в конце или начале периода) производятся платежи.

Фактор Фонда Обычного Возмещения (платежи в конце каждого периода):

ФФОВ =	РМТ =	_____i___	*FV	(1.7)
(1+i)^n - 1

Фактор Фонда Авансового Возмещения (платежи в конце каждого периода):

ФФАВ =	РМТ =	______i______	*FV	(1.8)
(1+i)^n^+1 – (1+i)

2-я и 3-я функции сложного процента взаимосвязаны между собой через формулы. 2-я функция – это определение FV, а 3-я – это определение PV.

Пример. Вы взяли у своего знакомого в долг и через 5 лет должны вернуть 1000$. Чтобы проще было расплатиться с долгами, вы решили откладывать деньги в банк каждый год. Банковская ставка также равна 15% годовых. Как выгоднее депонировать деньги – в начале года или в конце года? Какую сумму вы должны депонировать в банке, чтобы в конце 5-го года выплатить эту 1000$?

1. Фактор Фонда Обычного Возмещения:

ФФОВ =	_____15%___	*1000$	= 148 $
(1+15%)^5 - 1

1. Фактор Фонда Авансового Возмещения:

ФФАВ =	_______15%________	*1000$	= 129 $
(1+15%)^5+1 – (1+15%)

Из расчетов видно, что гораздо депонировать деньги в начале каждого года.

Пример. Вы взяли льготный беспроцентный кредит в размере 10000$ на 5 лет. Какую сумму вам необходимо депонировать ежемесячно в банке для возврата этого кредита, если номинальная годовая банковская ставка составляет 15%, а аккумулирование (начисление процентов на остаток на счете) происходит ежемесячно. Как выгоднее депонировать деньги в банк – в начале или в конце месяца?

1. Фактор Фонда Обычного Возмещения:

ФФОВ =	_____1,25%____	*10000$	= 113 $
(1+1,25%)^5^*12 - 1

2. Фактор Фонда Авансового Возмещения:

ФФАВ =	________1,25%__________	*10000$	= 111,5 $
(1+1,25%)^5*12+1 – (1+1,25%)

Каждый месяц вам выгоднее откладывать по 111,5 $.

Четвертая функция сложного процента – фактор текущей стоимости будущего капитала.

Текущая стоимость будущего капитала – это сегодняшняя стоимость капитала, который должен быть получен в будущем. Математически выразить текущую стоимость будущего капитала можно следующим образом:

PV = FV /(1+i)ⁿ (1.9)

Как вы заметили 4-я и 1-я функция сложного процента взаимосвязаны между собой одной формулой. 1-я функция определяет будущую стоимость текущего капитала.

Пример. Вы решили накопить 12000$. Эта сумма понадобится вам через 4 года. Сколько денег сегодня вы должны положить в банк под 10% годовых, чтобы через 4 года получить 12000$.

PV = 12000$ /(1+10%)⁴ = 8196 $

Пятая функция сложного процента – фактор текущей стоимости аннуитета.

5-я функция предназначена для определения текущей стоимости (PV) равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же сумму денег (РМТ) в течение какого-то времени (1,2,3 года и т.д.) при известной норме прибыли (i).

В этом смысле, 5-я функция несколько похожа на 2-ю функцию сложного процента, с той лишь разницей, что 2-я определяет FV.

Различают фактор текущей стоимости Обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода) и Авансового Аннуитета (платежи в начале каждого периода).

Текущая стоимость обычного аннуитета:

PVк=	1 – (1+i)^–^n	*PMT	(1.10)
I

Текущая стоимость авансового аннуитета:

PVн=[	1 – (1+i)^–^(^n^– 1)	+1]	*PMT	(1.11)
i

Пример. Какова текущая стоимость потока доходов, если известно, что ежегодный доход в 100$ приносится в конце каждого года на протяжении 4-х лет, если на вложения с аналогичным уровнем риска можно получить 10% годовых?

1. Если платежи будут производится в конце каждого года то:

PVк=	1 – (1+10%) ^–^4	*100	= 316,9 $
10%

2. Если платежи будут производится в начале каждого года:

PVн = [	1 – (1+10%) ^–^(4 – 1)	+1]	*100	= 348,6$
i

Шестая функция сложного процента – фактор амортизации капитала.

6-я функция определяет размер равновеликих периодических платежей (РМТ), погашающих за определенное число периодов (n) основную сумму кредита (PV) и процент по нему.

Выплата по проценту – это плата за представленный кредит. 6-я функция взаимосвязана с 5-й функцией. В зависимости от того, как платятся взносы: различают обычный взнос на амортизацию и авансовый.

Обычный взнос на амортизацию (платежи в конце периода):

РМТк =	PV*i___	(1.12)
1 – (1+i) ^– n

Авансовый взнос на амортизацию (платежи в начале периода):

РМТн =	PV*i_____	(1.13)
(1+i) – (1+i) ^– (n – 1)

Пример. Вы взяли кредит в банке в размере 15000$ на 5 лет под 12% годовых, и собираетесь рассчитаться по нему путем периодических платежей в конце каждого года. Какую сумму нужно вам платить каждый год, чтобы рассчитаться и с основным долгом (15000$) и с процентами по нему?

1. Если платежи в конце года:

РМТк =	15000$*12%___	= 4161$
1 – (1+12%) ^–^5

2. Если платежи в начале года:

РМТн =	15000$*12%_____	= 3715$
(1+12%) – (1+12%) ^– (^5^– 1)

Контрольные вопросы

1. Охарактеризуйте понятие инвестиций, приведите варианты их классификации.

2. В чем заключаются основные отличия между инвестициями и капитальными вложениями?

3. Что представляет собой инвестиционная деятельность, и из каких этапов она состоит?

4. Какие субъекты инвестиционной деятельности можно выделить? Их отличия и основные характеристики?

5. Объекты инвестиционной деятельности, их отличия и основные характеристики.

6. Реципиент, как субъект инвестиционной деятельности?

7. Какова структура инвестиционного рынка?

8. Какова структура инвестиционного рынка в России? Перечислить и охарактеризовать его составляющие.

Тесты

1.1. Какие из приведенных ниже вложений в большинстве случаев не относятся к инвестициям?

а) приобретение иностранной валюты;

б) вложения в облигации на вторичном рынке;

в) вложения в депозитные сертификаты;

г) лизинговое финансирование;

д) вложения в акции на первичном рынке.

1.2. Основными целями инвестирования являются:

а) получение прибыли;

б) достижение социального эффекта;

в) накопление капитала

1.1. Прямые инвестиции предполагают:

а) привлечение финансовых посредников к реализации инвестиционных проектов;

б) использование внутренних источников финансирования инвестиций;

в) непосредственное участие инвестора в выборе объектов инвестирования и вложения капитала.

1.2. Какой из перечисленных ниже субъектов экономики не является участником (исполнителем) инвестиционной деятельности?

а) инвестор;

б) исполнитель;

в) проектировщик;

г) подрядчик;

д) страховое общество.

1.3. В какой сфере протекает инвестиционная деятельность?

а) услуг;

б) обращения;

в) материального производства;

г) нематериального производства.

1.4. Инвестиционная деятельность коммерческих банков в сфере реального инвестирования имеет следующие формы:

а) инвестиционное кредитование;

б) инвестирование в ценные бумаги;

в) проектное финансирование;

г) долевое участие.

1.7. Какие из приведенных ниже элементов относятся к материальным элементам инвестиций?

а) коммуникации;

б) природные ресурсы;

в) вложения в человеческий капитал;

г) ценные бумаги;

д) патенты, лицензии.

1.8. Что лежит в основе деления инвестиций на реальные, финансовые и инвестиции в нематериальные активы?

а) объекты вложения инвестиций;

б) воспроизводственные формы;

в) стадии инвестиционного процесса;

г)субъекты инвестиционной деятельности.

1.9. Концепцию инвестиционного мультипликатора разработал:

а) Р.Ф. Кан;

б) Самуэльсон;

в) Дж. М. Кейнс.

1.10. Инвестиции в нематериальные активы - это:

а) вложения в торговые марки, товарные знаки, авторские права и т.д.;

б) затраты на приобретение объектов природопользования;

в) вложения в оборотные средства предприятия.

Задачи для практических занятий

Задача 1.1.

Рассчитайте ежегодный взнос для оплаты квартиры стоимостью 800 тыс. руб., купленной в рассрочку на 10 лет под 12%.

Задача 1.2.

Рассчитайте ежегодный взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.

Задача 1.3.

Рассчитайте взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.

Задача 1.4.

Квартира продана за 800 тыс. руб., деньги приносят 12% годового дохода. Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет?

Задача 1.5.

Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет, если ежегодно откладывать по 80 тыс. руб. под 12%?

Задача 1.6.

Сколько стоила квартира, купленная в рассрочку на 10 лет под 12% годовых, если ежегодный взнос составляет 80 тыс. руб.?

Дата добавления: 2015-11-14