Аппроксимация на скользящих интервалах

Можно использовать подход, позволяющий проводить идентификацию при любом характере воздействия. Кроме того, учитывается, что зависимости X(τ) и Y(τ) могут быть зашумлены.

Выбирается метод наименьших квадратов с аппроксимацией зависимостей X=f(τ) и Y=f(τ) на интервалах времени, при котором:

¾ проводится аппроксимация зависимостей X=f(τ) и Y=f(τ) на интервалах оси времени гладкими функциями (полиномы невысоких степеней);

¾ для моментов времени путем дифференцирования аппроксимирующей функций определяются производные Y’ и значения X, Y;

¾ значения функций и производных подставляются в идентифицируемое уравнение и определяется сумма квадратов невязок левой и правой частей уравнения для всех рассматриваемых моментов времени;

¾ значения коэффициентов идентифицируемого дифференциального уравнения определяются путем минимизации суммы квадратов невязок левой и правой частей уравнения.

Второй особенностью метода является организация обработки данных для идентификации.

Экспериментальные данные представляются совокупностью записей, каждая из которых содержит: значение момента времени τ_i, значение воздействия Xе_i, значение реакции объекта Yе_i

Из совокупности записей выделяются выборки (интервалы времени) для каждой из которых вводится новая независимая переменная t.

Зависимости X(t) и Y(t) в пределах каждого интервала (выборки записей) аппроксимируются полиномами невысоких степеней.

(1.7)

где а₀ ¸ а_Kpol и b₀ ¸ b_Kpol - коэффициенты аппроксимирующих полиномов, Kpol – порядок аппроксимирующего полинома.

Выбранный способ представления данных для проведения аппроксимации экспериментальных зависимостей Xе(τ) и Yе(τ) отличается тем, что он не требует равномерного расположения моментов времени на оси τ.

Другим достоинством принятого способа является возможность существенного перекрытия интервалов времени при аппроксимации, что заметно повышает достоверность результатов идентификации.

При идентификации уравнения (1) минимизируемый функционал S имеет вид:

. (1.8)

Минимум S достигается при выполнении условий:

, .

Что приводит к системе линейных алгебраических уравнений:

(1.9)

Дата добавления: 2015-11-14