Распределение скоростей течения в потоке с прямоугольным сечением

Проблема теоретического расчета распределения скоростей течения в потоке с произвольным поперечным сечением еще не решена. Пока предпринимались лишь попытки теоретического расчета поля течения в прямолинейном потоке с прямоугольным сечением. При этом использовалось два допущения:

1) поток в поперечном направлении симметричен, т.е. распределение скоростей слева и справа от оси потока (рис. 8) одинаково;

2) скорости течения с удалением от боковых стенок потока увеличиваются по тому же закону, что и при удалении от дна.

Рис. 8 Схема к расчету распределения скоростей течения в потоке с прямоугольным руслом:

а – поперечное сечение русла, б – распределение поверхностной скорости по ширине русла, в – распределение скоростей течения по глубине на вертикали .

Обозначим поперечную координату через у, половину ширины потока через b, а полную через B =2 b. Выразим изменение скоростей по глубине на любой вертикали, например, на расстоянии у от стенки, функцией

. (3.1)

Уравнения вида (3.1) были рассмотрены в теме 2.

Пусть поверхностная скорость изменяется по ширине русла по закону

, (3.2)

где u _{пов, у} – поверхностная скорость на расстоянии у от боковой стенки, а u _{пов,макс} – поверхностная скорость на оси потока (у = b), где она максимальна.

Объединяя (3.1) и (3.2), получим

. (3.3)

Выражение (3.3) будет описывать распределение скоростей течения в потоке с прямоугольным сечением в том случае, если заданы законы распределения скоростей по глубине – и ширине русла – .

Как было показано в предыдущей теме, функция может быть задана, например, степенным или логарифмическим законом.

Рассмотрим решение задачи в этих двух случаях.

Пусть выполняется равенство (2.3) с показателем степени 1/ m:

, (3.4)

а поверхностная скорость изменяется по ширине русла также по уравнению, сходному с (3.4):

. (3.5)

Объединяя (3.4) и (3.5), получим

. (3.6)

Заметим, что 1/ m в последнее время принимают равным 1/6.

Для того, чтобы рассчитать поле скоростей с прямоугольным сечением по уравнению (3.6) необходимо заранее знать поверхностную скорость на оси потока u _{пов,макс}.

Поскольку поток в прямоугольном русле симметричен относительно своей вертикальной оси, достаточно описанные расчеты провести лишь для половины русла.

Аналогично задача решается при использовании логарифмического закона распределения скоростей течения. Воспользуемся, например, формулой Гришанина (2.36).

Перепишем (2.36) следующим образом:

. (3.7)

Аналогично (3.7) запишем уравнение для распределения по ширине русла поверхностной скорости

, (3.8)

где u _{пов,макс} – поверхностная скорость течения на оси потока, у – расстояние от боковой стенки русла, b – полуширина русла.

Подставим (3.8) вместо u _пов в (3.7) и получим:

. (3.9)

При y = b получаем распределение скоростей течения по глубине в центре русла; при z = h имеем распределение поверхностной скорости по ширине русла.

Сходную схему расчета предложил В.Н.Гончаров еще в 1954 г. В качестве исходного использовалось уравнение Гончарова вида (2.22). Итоговая формула имеет вид:

. (3.10)

Здесь D – высота выступов шероховатости.

Если вместо "реперной" скорости течения взять не поверхностную на оси потока u _{пов,макс}, а среднюю скорость всего потока V, то формула Гончарова получит вид

. (3.11)

Возможности практического применения изложенной выше методики расчета поля скоростей течения весьма ограничены. Существенным препятствием для расчетов является невозможность одновременного учета тормозящего влияния боковых стенок и дна в "угловых" областях русла. Поэтому даже в руслах с прямоугольным сечением рассматриваемые приближенные решения возможны лишь при больших отношениях ширины к глубине (2 b / h >8–10).

Дата добавления: 2015-11-13