По глубине и его основные следствия

Новый подход к расчету распределения скоростей в потоке возможен, как показал К.В.Гришанин (1979), на основе зависимости, полученной Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшицем в 1953 г. из соображений размерностей

, (2.31)

где z – расстояние от дна, u _* – динамическая скорость, определенная для вертикали и равная .

Отсюда после интегрирования можно получить логарифмический закон распределения скоростей течения в потоке в двух вариантах:

– для гладкого дна

, (2.32)

– для шероховатого дна

. (2.33)

где с ₁ и с ₂ – некоторые константы.

Гришанин (1992) предлагает следующий путь анализа уравнения (2.33). Если его записать для поверхностной скорости, то u надо заменить на u _пов, а z на h:

. (2.34)

Вычитая из равенства (2.34) равенство (2.33), Гришанин получает

. (2.35)

При такой процедуре удается избавиться от Δ и с ₂ в равенстве (2.33). В процессе вычислений учтено, что .

В уравнении (2.35) – так называемый безразмерный дефицит скорости. Дефицит скорости – это разница между поверхностной скоростью течения и скоростью на любой глубине. Поскольку поверхностная скорость максимальна, а скорость на разных горизонтах уменьшается с приближением ко дну, дефицит скорости от поверхности ко дну увеличивается.

Понятие "дефицит скорости" применительно к распределению скоростей течения по глубине был впервые введен в гидромеханику Т.Карманом.

Уравнение (2.35) отражает весьма важную закономерность: распределение по глубине безразмерного дефицита скорости универсально и не зависит от характера шероховатости дна (Гришанин, 1979, стр.53).

Перейдя к десятичным логарифмам и приняв c=0,4, Гришанин получил уравнение (2.35) в несколько ином виде:

. (2.36)

Анализ уравнения (2.35) позволяет сделать следующие важные выводы:

1) Влияние сопротивления русла на вертикальное распределение скоростей течения. Отсутствие в формуле (2.35) в явном виде величин, характеризующих шероховатость русла, не означает, что дефицит скорости, т.е. разница между поверхностной скоростью и скоростью на любых горизонтах, не зависит от гидравлического сопротивления русла.

Выразим динамическую скорость u _* через среднюю скорость на данной вертикали и коэффициент гидравлического сопротивления по формуле вида (1.6):

. (2.37)

В результате такой подстановки получим:

. (2.38)

Из формулы (2.38) следует вывод: чем больше коэффициент Шези С (или меньше коэффициент гидравлического сопротивления l), тем меньше изменение скоростей течения по глубине потока. Иначе говоря, чем меньшее сопротивление потоку оказывает шероховатость русла, тем более равномерно распределение скоростей течения по вертикали, и, наоборот, чем больше шероховатость русла, тем больше неравномерность в распределении скоростей.

2) Соотношение между поверхностной скоростью течения и средней на вертикали. Уравнение (2.35) позволяет количественно оценить влияние сопротивления русла на различие между поверхностной (u _пов) и средней скоростями на вертикали (u _ср). Выявление такого соотношения важно при проведении гидрометрических работ, в частности, при измерении расхода воды с помощью поверхностных поплавков.

Уравнение (2.35) перепишем вслед за К. В. Гришаниным (1992) следующим образом, отнеся его к средней скорости на вертикали:

. (2.39)

Формула (2.39) является результатом интегрирования уравнения (2.35) по глубине. Заметим при этом, что .

Заменяя u _* опять на , из (2.39) получим:

. (2.40)

Отсюда следует:

. (2.41)

Обратное отношение будет равно:

. (2.42)

Если заменить на 3,13, и принять c=0,4, то вместо (2.41) и (2.42) будем иметь:

, (2.43)

. (2.44)

Результаты расчетов по этим формулам приведены в следующей таблице:

С, м^1/2/с
	0,020	0,012	0,078	0,0054	0,0040	0,0031	0,0024	0,0020
	1,26	1,19	1,16	1,13	1,11	1,09	1,09	1,08
	0,79	0,84	0,86	0,88	0,90	0,91	0,92	0,92
R =(nC)^6, м при n =0,02	0,047	0,26	1,00	2,98	7,53	16,8	34,0	64,0

Данные таблицы показывают, что отношение u _пов/ u _ср уменьшается, а отношение u _ср/ u _пов увеличивается с ростом коэффициента Шези (или уменьшением коэффициента l).

В средних и крупных реках с величиной гидравлического радиуса более 3 м отношение u _ср/ u _пов больше 0,88. В крупных реках это отношение становится практически неизменным (0,91–0,92).

3) Глубина горизонта, где местная скорость численно равна средней по вертикали. Путем сравнения формул (2.35) и (2.39) можно сделать заключение о глубине горизонта (z_m), где местная скорость численно равна средней на вертикали (u _ср).

Воспользуемся выводом, предложенным К.В.Гришаниным (1979).

Запишем уравнение (2.35) для местной скорости u_m, численно равной u _ср на вертикали:

, (2.45)

где z_m – расстояние от дна той точки, где u = u_m = u _ср.

Перепишем уравнение (2.45) в несколько ином виде:

. (2.46)

Здесь z_m выражено через глубину z_m = a_mh, где a_m – соответствующая доля глубины.

Аналогично равенству (2.46) запишем и уравнение (2.39):

. (2.47)

Вычитая из второго уравнения первое и имея в виду, что u_m = u _cp, получим простое выражение:

. (2.48)

Потенцируя, будем иметь и, следовательно,

. (2.49)

Таким образом, получены весьма интересные выводы:

– расстояние от дна (z_m), где местная скорость численно равна средней на вертикали составляет 0,3679 h. Этот же горизонт находится от поверхности потока, соответственно, на расстоянии 0,6321 h ~0,63 h. Заметим, что в практической гидрометрии этот горизонт обычно считают равным 0,6 h;

– положение на вертикали горизонта, где скорость течения численно равна средней, не зависит от сопротивления потоку и неизменно (с учетом ограничений при выводе исходной формулы 2.35). Иначе говоря, графики могут иметь разную крутизну в зависимости от сопротивления русла, но все они должны пересекаться в точке с координатами и , т.е. на расстоянии 0,37 h от дна (или 0,63 h от поверхности).

4) Изменение коэффициента турбулентного обмена по глубине потока. При логарифмическом законе распределения скоростей течения по глубине коэффициент турбулентного обмена А в формуле (2.15) должен изменяться по вертикали следующим образом.

Выразим А из (2.15) через t=r g (h – z) I и вертикальный градиент скорости течения du / dz:

,

где u _*= , а t=r g (h – z) I заменено на r gh (1– z / h) I.

Вместо du / dz подставим его выражение по (2.31):

. (2.50)

Уравнение (2.49) представляет собой квадратичную параболу. Это означает, что коэффициент турбулентного обмена А изменяется с удалением от дна по параболическому закону.

Дата добавления: 2015-11-13