Уравнение одномерного квазиравномерного движения руслового потока, понятие о касательном напряжении и гидравлическом сопротивлении

Выделим в русловом потоке (рис. 2) отсек с длиной D x и площадью поперечного сечения w. При одномерном движении воды скорость перемещения выделенного отсека равна средней скорости потока V.

Рис. 2. Схема к выводу уравнения квазиравномерного движения руслового потока:

а – продольный, б – поперечный разрезы.

Применим к выделенному отсеку второй закон механики , где m – масса воды в отсеке, равная rD x w, dV / dt – ускорение движения, S F – сумма действующих на отсек воды внешних сил. Этими внешними силами в случае одномерного прямолинейного движения будут, во-первых, продольная составляющая силы тяжести, равная Fg = mg sina=r g D x w I, где I – уклон водной поверхности (см. рис.2), а, во-вторых, противоположно направленная сила трения у дна T _o, равная t_oD xp, где t_o – удельное трение (трение на единицу поверхности дна) или так называемое касательное напряжение с размерностью H/м², а р – смоченный периметр.

Таким образом, получим .

Если принять движение воды квазиравномерным, т.е. близким к равномерному, то имеем dV / dt ~0, и левая часть уравнения, описывающего второй закон механики, превращается в нуль. В этом случае и S F =0. Откуда, с учетом вышеизложенного, получаем .

Разделив обе части последнего уравнения на D хр и, введя замену w/ p = R, где R – гидравлический радиус, получим выражение для касательного напряжения

t_о=r gRI, (1.1.а)

или

t_o=r gHI, (1.1.б)

где гидравлический радиус заменен на среднюю глубину, что допустимо для широких и не очень глубоких русел.

Уравнения 1.1.а или 1.1.б не позволяют установить связь касательного напряжения с главной характеристикой потока – средней скоростью течения V. Такую связь можно выявить двумя путями:

а) С помощью общеизвестной формулы Шези. Эту формулу вывел французский гидравлик Антуан Шези в 1775 г., однако она была опубликована американским инженером Клеменсом Гершелем значительно позже – в 1897 г., после чего и получила широкую известность.

В современной интерпретации формулу Шези, как и многочисленные ее аналоги (формулы дю Бюа, Жирара, Прони, Дарси-Базена и др.) записывают в виде

, (1.2)

где C – коэффициент Шези, зависящий от характера дна, а Н – средняя глубина (иногда вместо Н используют гидравлический радиус R).

Если возвести формулу Шези в квадрат, затем обе ее части умножить на r g, то получим

,

откуда следует, что

.

Сравнивая последнюю формулу с выражением для t_о (1.1.б), получим

. (1.3)

б) С помощью формулы Дарси-Вейсбаха. Эта формула была получена во второй половине XIX века и напрямую связывает касательное напряжение t_о со скоростью потока:

, (1.4)

где l – так называемый коэффициент гидравлического сопротивления (трения), или коэффициент Дарси-Вейсбаха.

Физический смысл формулы (1.4) следующий: касательное напряжение пропорционально кинетической энергии потока (V ²/2) и зависит от безразмерного коэффициента сопротивления (трения).

Сравнивая два выражения для t_о (формулы (1.3) и (1.4)), получим

,

откуда можно найти связь между коэффициентом гидравлического сопротивления l и коэффициентом Шези:

(1.5а)

или

. (1.5б)

Таким образом, для характеристики гидравлического сопротивления в русловых потоках можно использовать несколько коэффициентов: l (самый предпочтительный вариант с точки зрения физики процесса и принципа размерностей), производные выражения lgl, , просто коэффициент шероховатости n и др. Иногда для характеристики гидравлического сопротивления применяют выражения, обратные по отношению к l или 2 g / c ²: , просто коэффициент Шези с и др.

Зависимость между средней скоростью течения и характеристиками гидравлического сопротивления, исходя из формулы Шези, можно представить следующим образом:

, (1.6)

где коэффициент Шези с заменен на l согласно (1.5.б), а V _* – так называемая динамическая скорость течения, равная . Уравнение (1.6) и есть уравнение одномерного квазиравномерного движения воды в русле.

Дата добавления: 2015-11-13