Проекции скорости на оси координат определяются уравнениями (3.5).

При t₁ = 0,25 c .

Модуль скорости , V₁=6,6м/c.

Проекции ускорения найдем, дифференцируя по времени уравнения (3.5).

При t=0,25 c, a_x=6,4 м/c², a_y=21,6 м/c².

Модуль ускорения = , a₁ =22,5 м/c². Модуль касательного ускорения при t ₁ равен

.

Модуль полного ускорения выразим через нормальное и касательное ускорения:

.

Отсюда находим нормальное ускорение в заданный момент времени:

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из формулы нормального ускорения . Отсюда .

На рис.3.2 показано положение точки М в заданный момент времени

t₁ =0,25 c. В этот момент х=1,6м, у=1,33м. Вектор строим по его проекциям и . Вектор строим по проекциям и , и затем раскладываем на составляющие и .

Задание Д2 Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Механизм начинает двигаться из состояния покоя под действием заданных сил: постоянной силы F, постоянного вращающего момента М_вр и сил тяжести. Сила и момент действуют на одно из тел, как показано на рисунке. Зная массы тел m₁, m₂, m₃, m₄; радиусы r и R малых и больших окружностей колёс; радиусы инерции ступенчатых колёс ρ, определить какую скорость будет иметь тело 1 после того, как оно переместится на расстояние S=3м. Коэффициент трения скольжения для всех вариантов, где груз скользит по плоскости, f=0,05. Сопротивлением качению пренебречь. Качение колёс происходит без скольжения. Численные значения всех величин даны в таблице 3.2.

Пример. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы Механизм движется из состояния покоя. Определить скорость тела 1 после его перемещения на расстояние S=0,5м. Дано: массы тел m₁=10кг, m₂=30кг, m₃=15кг, m₄=20кг, радиусы колёс r₂=0,2м, R₂=0,4м, r₃=0,25м, r₄=0,25м, радиус инерции тела 2 ρ₂=0,25м, сила F=100Н, М_вр=20м.

	Рис.3.3 Схема механизма

Решение

Кинематика механизма. Выразим основные кинематические параметры звеньев механизма через искомую скорость v₁. Из рисунка видно, что тело 1 движется поступательно, тела 2 и 3 вращаются, а тело 4 движется плоскопараллельно. Угловая скорость колеса 2 определяется из условия равенства скоростей точек контакта звеньев 1 и 2.

V₁=ω₂·r₂ ω₂= . (3.6)

Из аналогичного условия равенства скоростей точек контакта колёс 2 и 3 находим угловую скорость колеса 3. Так как ω₂·R₂= ω₃·r₃, то

ω₃= . (3.7)

Рис 3.4 Кинематическая схема.

.

Схемы механизмов

1

2

5    

F

6

7  

8

F

9

10

12

14

15    

М_вр

16

17  

18

20

21    

22

23  

24

М_{в р}

26

27

28

29    

F

М _вр

30

31	32
33	34

Исходные данные.

Таблица 3.2

№ вар.	№ рис.	m1 , кг	m2 , кг	m3, кг	m4, кг	r2, м	R2, м	r3, м	R3, м	ρ2, м	ρ3, м	F, Н	Мвр, Нм
						0,5	-	0,2	-	-	-
						0,2	-	0,2	0,4	-	0,3
						0.5	-	0,3	-	-	-
						0,4	-	0,2	-	-	-
						0,5	-	0,3	-	-	-
						0.3	-	0.6	-	-	-
						0,3	-	0,2	0,4	-	0,3
						0. 3	-	0,25	0,5	-	0,4
					-	0,25	-	0,4	-	-	-
					-	0,3	-	0,3	0,5	-	0,4
					-	0,2	0,5	0,3	-	0,3	-
						0,2	0,4	0,3	-	0,3	-
.13						0,2	-	0,2	0,5	-	0,4
						0,2	0,5	0,3	-	0,4	-
					-	0,1	-	0,3	-	-	-
					-	0,15	-	0,4	-	-	-
						0,1	0,3	0,2	-	-	-
					-	0,2	-	0,3	-	-	-
						0,3	-	0,2	0,4	-	0,3
					-	0,2	-	-	-	-	-
					-	0,2	-	0,3	-	-	-
					-	0,25	-	0,4	-	-	-
					-	0,2	-	0,2	0,5	-	0,3
					-	0,3	0,6	0,3	-	0,4	-
					-	0,2	-	0,3	-	-	-
					-	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3
					-	0,3	0,6	0,2	-	0,4	-
					-	0,2	0,4	0,2	-	0,4	-
					-	0,3	0,6	0,2	-	0,4	-
№ вар.	№ рис.	m1, кг	m2, кг	m3, кг	m4, кг	r2, м	R2, м	r3, м	R3, м	ρ2, м	ρ3, м	F, Н	Мвр, Нм
					-	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3
					-	0,3	-	0.3	-	-	-
					-	0,2	0,4	0,3	-	0,3	-
						0,3	-	0,3	-	-	-
						0,25	0,5	0,3	-	0,4	-
						0,5	-	0.2	-	-	-
						0,2	-	0,2	0,4	-	0,3
						0.5	-	0,2	-	-	-
						0,4	-	0,2	-	-	-
						0,5	-	0,25	-	-	-
						0.3	-	0,6	-	-	-
						0,3	-	0,2	0,4		0,3
						0. 3	-	0,25	0,5	-	0,4
					-	0,2	-	0,5	-	-	-
					-	0,3	-	0,3	0,5	-	0,4
					-	0,2	0,5	0,3	-	0,3	-
						0,2	0,4	0,3	-	0,3	-
						0,2	0,3	0,5	-	-	0,4
						0,2	0,5	0,3	-	0,4	-
					-	0,1	-	0,3	-	-	-
					-	0,2	-	0,4	-	-	-
						0,1	0,3	0,2	0,25	-	-
					-	0,2	-	0,3	-	-	-
						0,2	-	0,2	0,4	-	0,3
					-	0,2	-	-	-	-	-
					-	0,2	-	0,4	-	-	-
					-	0,25	-	0,4	-	-	-
					-	0,2	-	0,3	0,4	-	0,25
					-	0,3	0,6	0,3	-	0,4	-
					-	0,25	0,5	0,3	-	0,3	-
					-	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3
					-	0,25	0,5	0,2	-	0,4	-
					-	0,2	0,4	0,2	-	0,4	-
					-	0,25	0,5	0,2	-	0,4	-
					-	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3
					-	0,3	-	0.3	-	-	-
					-	0,2	0,4	0,3	-	0,3	-
						0,3	-	0,3	-	-	-
						0,5	-	0.2	-	-	-
						0,2	-	0,2	0,4	-	0,3
						0.5	-	0,3	-	-	-
						0,4	-	0,2	-	-	-
						0,5	-	0,3	-	-	-
						0.3	-	0.6	-	-	-
						0,3	-	0,2	0,4		0,3
						0. 3	-	0,25	0,5	-	0,4
					-	0,25	-	0,4	-	-	-
					-	0,3	-	0,3	0,5	-	0,4
					-	0,2	0,5	0,3	-	0,3	-
						0,2	0,4	0,3	-	0,3	-
						0,2	0,3	0,5	-	-	0,4
						0,2	0,5	0,3	-	0,4	-
					-	0,1	-	0,3	-	-	-
					-	0,15	-	0,4	-	-	-
						0,1	0,3	0,2	-	-	-
					-	0,2	-	0,4	-	-	-
						0,3	-	0,2	0,4	-	0,3
					-	0,2	-	-	-	-	-
					-	0,2	-	0,3	-	-	-
					-	0,25	-	0,4	-	-	-
					-		-	0,2	0,4	-	0,3
					-	0,3	0,6	0,3	-	0,4	-
					-	0,2	0,2	0,4	-	0,3	-
					-	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3
					-	0,2	0,4	0,2	-	0,3	-
					-	0,2	0,4	0,2	-	0,4	-
					-	0,2	0,4	0,2	-	0,3	-
					-	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3
					-	0,3	-	0.3	-	-	-
					-	0,2	0,4	0,3	-	0,3	-

Трос, соединяющий тела 3 и 4, имеет скорость равную V_тр= ω₃·r₃, так как трос сходит с колеса 3, и V_тр = ω₄·2r₄, так как он намотан на колесо 4. Иначе говоря, скорость точки колеса, касающейся горизонтального участка троса равна скорости троса. Скорость любой точки колеса 4 вычисляется по правилу

V= ω₄·h_К, где h_К- расстояние от точки до м.ц.с., ω₄-угловая скорость колеса 4.

М.ц.с. К находится в точке касания колеса 4 с плоскостью, по которой оно катится без скольжения. Отсюда

ω₃·r₃= ω₄·2r₄, ω₄ = = 4V₁ (3.8)

Скорость центра масс колеса 4 V_C4= ω₄ r₄ = = V₁ (3.9)

Мы видим из кинематических расчётов, что все скорости пропорциональны скорости тела 1. Значит соответствующие угловые и линейные перемещения находятся в такой же пропорциональной зависимости.

Угловое перемещение тела 2 выразим через линейное перемещение тела 1:

= 5 ·S₁=2,5(рад). (3.10)

Аналогично S_C4 = = S₁ =0,5м. (3.11)

Перейдём к динамике. Применим теорему об изменении кинетической энергии, согласно которой: изменение кинетической энергии механической системы при перемещении её из начального положения в конечное равно сумме работ всех сил, приложенных к этой системе на этом перемещении

Т – Т₀ = .

Вычислим кинетическую энергию механизма. Она складывается из кинетических энергий звеньев.

Т=Т₁+Т₂+Т₃+Т₄.

Движение механизма начинается из состояния покоя, поэтому Т₀=0. Звено 1 движется поступательно, поэтому

Т₁= = 5V₁².

Тела 2 и 3 вращаются поэтому

Т₂ = и Т₃ = .

Моменты инерции колёс вычислим по формулам: для тела 2 через радиус инерции =1,875кгм², для тела 3 по формуле для однородного цилиндра

I_z3=m₃r₃²/2=0,469кгм²

Вычисляем кинетическую энергию колёс: Т₂ = 46,875 V₁², Т₂ =30 V₁².

Кинетическая энергия колеса 4 вычисляется по формуле

Т₄= = 15 V₁² где =0,625 кгм²

и полную кинетическая энергию механизма Т =96,975 V₁² (Дж). (3.12)

Теперь вычислим работу сил, приложенных к точкам механической системы. Для этого покажем силы на схеме.

Рис 3.5 Силовая схема.

На схеме показаны только внешние силы, потому что для системы, состоящей из твёрдых тел и имеющей идеальные связи, как в нашем случае, работа внутренних сил равна нулю.

Если сила приложена к неподвижной точке, или перпендикулярна направлению перемещения её точки приложения, то работа такой силы тоже равна нулю. С учётом этого, сумма работ всех сил будет равна

.

Будем предполагать, что движение механизма происходит в направлении действия илы F. Тогда F·S_C4 =100·0,5=50 Дж; =- М_вр·φ₂ =-20·2,5=-50Дж;

= m₁g·S₁ =10·9,8·0,5=49Дж;

Суммарная работа сил равна = 49Дж. (8)

Сумма работ всех сил получилась положительной, значит, мы верно выбрали направление движения. В противном случае нужно направление движения поменять на противоположное.

Приравнивая (7) и (8) 96,975 V₁² =49, получаем ответ V₁ =0,505м/с.

Задание Д3 Применение принципа Даламбера (метода кинетостатики ) для определения реакций связей

Для получения рисунка к задаче для Вашего варианта нужно совместить схему механизма и схему опоры в точке С. Номер механизма соответствует первой цифре варианта, а номер опоры второй цифре. Например, для варианта 55 рисунок должен выглядеть так, как показано на рис 3.6

Рис.3.6

Условие задачи. Механизм, состоящий из грузов 1, (2) и блока 3 движется под действием сил тяжести, вращающего момента М_вр и силы Р, которые показаны на схеме механизма. С помощью принципа Даламбера (метода кинетостатики) установить ускорения грузов 1, (2) и угловое ускорение блока 3. Далее, определить реакции внешних связей для всей конструкции. В таблице 1 даны следующие данные: m₁, m₂, m₃-массы тел; r и R - малый и большой радиусы окружностей блока 3; I_z -момент инерции блока относительно его оси вращения. Из таблицы 3.3 берёте только значение той величины М_вр или Р, которая показана на схеме.

Исходные данные.

Таблица 3.3

№опоры	m1,кг	m2,кг	m3, кг	r, м	R, м	I,кгм^2	МврНм	Р,Н
				0,1	0,2	0,16	0,2
				0,1	0,2	0,14	1,2
				0,15	0,3	0,19	1,5
				0,1	0,2	0,2	3,5
				0,1	0,2	0,14
	0,5		1,6	0,15	0,3	0,12	1,4
		0,5		0,2	0,3	0,2
	1,5	1,2	1,8	0,15	0,2	0,11	1,5
				0,12	0,18	0,1
		1,5	!.7	0,1	0,15	0,22	1,6

Схемы механизмов

1.

2

 

4

6

8

10

Схемы опор.

1 l=1,5м, b=0,5м, а=0,25м  

В

С

a

	b

2 l=2м, b=1м, φ=30º    

3 l=0,3м, b=1м, а=0,8м

4 l=1,5м, b=1м  

5 l=2м  

C

	l

6 φ=60º    

7 φ=30º             φ=60º  

8 φ=60º  

C

9 а=0,4м, l=1,4м, b=0,4м

a

A

B

b

l

0 l=2м, b=0,8м

Пример. Применение принципа Даламбера (метода кинетостатики ) для определения реакций связей

: m₁=1,5кг, m₂= 3кг, m₃= 2кг, r=0,12м, R=0,24м, I=0,25кгм², Р=25Н.

45º

45º

Рис.3.7 Схема механической системы.

Решение

Установим кинематические зависимости. Механизм имеет одну степень свободы, поэтому ускорения грузов зависят от углового ускорения блока. Обозначим ускорения грузов а₁ и а₂, а угловое ускорение блока ε. Тогда

а₁= ε·r и а₂= ε·R,

Рис.3.8 Силовая схема.

Изобразим действующие на механическую систему силы: внешние активные силы m₁g, m₂g, m₃g; реакции внешних связей силы натяжения невесомых стержней АС и ВС- ; силы инерции Даламбера для грузов 1 и 2, движущихся поступательно , а для тела 3 момент сил инерции , здесь знак – указывает на то, что направление момента противоположно направлению углового ускорения. Блок вращается вокруг неподвижной оси, в этом случае силы инерции приводятся к главному вектору и к главному моменту сил инерции M^ин. Но так как центр масс блока находится на неподвижной оси в точке С, то Ф₃^ин=0, поэтому учитываем только момент.

Согласно принципу Даламбера, который ещё называют методом кинетостатики, система перечисленных сил инерции, активных сил и сил реакций связей эквивалентна нулю. Составим для этих сил уравнения статики:

1) ; F₁- F₂ cos 45º-P cos 45º=0

2) ; F₂ sin 45º+P sin 45º+Ф₁-Ф₂- m₁g- m₂g- m₃g=0

3) ; Р·R-М^ин+(m₁g-Ф₁)·r-(m₂g-Ф₂)·R =0.

Из последнего уравнения определим угловое ускорение ε. Для этого подставим в уравнение 3 значения сил инерции.

Р·R-I·ε+ m₁g·r- m₁·ε·r²- m₂g·R- m₂ ·ε·R ²=0.

Отсюда

ε= = =0,9017с^-2.

Из первых двух уравнений определяются реакции стержней F₁ и F ₂,

F₂= ((m₁+m₂+m₃)g-m₁·ε·r+m₂ε·R)-P= 93, 5Н,

F₁= (F₂+P)·cos45º =83,79Н.

Ответ: F₁ =93,5 Н, F₂ =83,79 Н.

Дата добавления: 2015-11-13