Пример. Движение точки по горизонтальной плоскости

Исходные данные

Таблица 3.1

№	Fx,H	Fy,H	x0,м	,м/с	y0,м	,м/с	T1,с
	8cos2t	12sin2t	-2	0	0	-6	π/6
	18sin3t	27cos3t	0	-6	-2	0	π/6
	8	0	2	2	0	4	1
	0	12	3	6	3	0	1
	18cos3t	0	-2	0	0	3	2π/9
	0	27sin3t	0	3	0	-9	2π/9
	-4	0	3	0	0	-5
	0		0	4	4	-8	1
			0	-	-2	0	1
	-6	-10	3	1	4	5/3	1
	12 sin2t	8 cos2t	0	-6	-2	0	π/3
	27cos3t	18sin3t	-2	0	0	-6	π/3
	10-0,2vx	0	0	0	0	0	5
	0	10-0.3vy	0	0	0	0	3
	-4sint	4cost	0	4	-4	0	π/6
	-0,2vx	0	-50	10	0	0,2	10
	0	-0.3vy	0	0,3	-30	9	10
	-6/(t+1)^3	0	-1	2	1	3	2
	-4x	-4y	5	0	0	10	π/6
	4sint	0	2	-4	0	1	π/3
	0	5sint	0	1	0	-5	π/6
	5cost	0	-5	0	0		π/2
	0	6cost	0	2	-6	0	1
	9x	9y	0	4	6	0	1
	-9x	-9y	4	0	0	12	π/6
	-2π^2cosπt	-2π^2sinπt	2	0	0	2π	1/3
	2t	3	1	2	3	2	1
	4	3t	0	2	3	0	1
	4t+1	8t+2	1	3	2	3	1
	12cos2t	12sin2t	-3	0	0	-6	π/6
	27sin3t	27cos3t	0	-9	-3	0	1
	5t+2	10t+4	2	1	2	1	0,5
	2	0	2	2	1	2	1
	0	6	2	3	1	0	1
	2е^t	12е^2^t	2	2	3	6	1
	4sin2t	8cos2t	0	-2	-2	0	π/6
	-4cos2t	8sin2t	1	0	0	-4	π/6
№	Fx,H	Fy,H	x0,м	,м/с	y0,м	,м/с	T1,с
	4 е^2t	8 е^t	1	2	8	8	1
	5е^2^t	0	5/4	5/2	1	2	1
			0		-2	0	1
	3t	6t	3	0	6	0	1
	-8sin2t	4cos2t	0	4	-1	0	π/6
			0		-2	0	1
	12t	0	2	0	1	2	1
	16e^2t	4e^t	4	8	4	4	1
	-16sin2t	0	0	8	1	2	π/6
	-8cos2t	12sin2t	-2	0	0	-6	π/6
	18sin3t	-27cos3t	0	-6	2	0	π/6
	12	0	2	2	0	4	1
	0	-0.2vy	0	0,3	-30	9	10
	10-0,1vx	0	0	0	0	0	5
	0	16	3	6	3	0	1
	4sin2t	-8cos2t	0	-2	-2	0	π/6
	-18/(t+1)^3	0	-3	6	3	3	2
	-0,2vx	0	-50	10	0	0,2	10
	0		0	4	4	-4	1
	16e^2t	-4e^t	4	8	-4	-4	1
	8	0	2	2	0	4	1
	0	-0.3vy	0	0,3	-30	9	10
	10-0,2vx	0	0	0	0	0	5
	3t	6t	3	0	6	0	1
	8cos2t	-12sin2t	-2	0	0	6	π/6
	0	6-0,3vy	0	0	0	0	4
	-6/(t+1)^3	0	-1	2	1	3	2
	9x	9y	0	4	6	0	1
	0	12	3	6	3	0	1
	4sin2t	-8cos2t	0	-2	2	0	π/6
	-18sin3t	27cos3t	0	-6	-2	0	π/6
	-0,15vx	0	-50	10	0	0,2	10
	-2π^2cosπt	-2π^2sinπt	2	0	0	2π	1/3
	0		0	4	2	-1	1
	24e^2t	3e^t	6	12	3	3	1
	5	0	2	2	0	4	1
	3t	6t	3	0	6	0	1
	10-0,2vx	0	0	0	0	0	5
	12sin2t	16cos2t	0	-6	-4	0	π/6
	0	11	3	6	3	0	1
	-4sin2t	-8cos2t	0	2	2	0	π/6
	5е^2^t	0	5/4	5/2	1	2	1
	8	0	2	2	0	4	1
	25x	25y	0	4	6	0	1
	18	0	0	0	2	3	1
	-0,25vx	0	-50	10	0	0,2	10
	12t	6t	0	0	0	0	1
	0	-0.3vy	0	0,3	-30	9	10
	0	12	3	6	3	0	1
	8e^2t	4e^t	2	4	4	4	1
	-2π^2cosπt	-2π^2sinπt	2	0	0	2π	1/3
№	Fx,H	Fy,H	x0,м	,м/с	y0,м	,м/с	T1,с
	-8cos2t	-12sin2t	-2	0	0	-6	π/6
	3x	3y	0	3	2	0	π/6
	4	0	2	2	0	4	1
	-4sin2t	8cos2t	0	2	-2	0	π/6
	-6/(t+1)^3	0	-1	2	1	3	2
	16x	16y	0	4	6	0	1
	-18sin3t	-27cos3t	0	6	3	0	π/6
	5е^2^t	0	5/4	5/2	1	2	1
	16-0,2vx	0	0	0	0	0	5
	-4sin2t	-12cos2t	0	-2	-6	0	π/6
	0	10	3	6	3	0	1

Пример. Движение точки по горизонтальной плоскости

Материальная точка (рис.3,1) массой 2 кг движется по горизонтальной плоскости под действием силы , где i и j - орты осей координат Ox и Oy. При t = 0 положение точки определяется координатами: , а проекции скорости на координатные оси соответственно равны .

Определить, пренебрегая трением, уравнения движения точки. Построить траекторию, указать на ней положение точки, найти скорость, касательное, нормальное, полное ускорения точки и радиус кривизны при t = 0,25 с.

Решение. На точку, находящуюся на горизонтальной плоскости, действуют сила тяжести , реакция плоскости и сила . Запишем дифференциальные уравнения движения точки

j

i

Найдем проекции действующих сил на оси х и у. Сила тяжести и реакция опорной плоскости параллельны оси z, поэтому их проекции на указанные оси координат равны нулю. Проекции силы на оси координат равны:

, где .

Дифференциальные уравнения точки принимают вид:

Подставим m =2 и получим

или (3.1)

Уравнения (3.1) – однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Решаем первое уравнение. Составляем характеристическое уравнение

.

Корни этого уравнения .

Так как корни характеристического уравнения действительные и равные , то решение уравнения (а) имеет вид:

Аналогично решаем второе уравнение. Соответствующее ему характеристическое уравнение также имеет действительные и равные корни . Решение второго уравнения имеет вид:

.

Итак, движение точки по плоскости ху описывается уравнениями

, (3.2)

где С_1, С₂, С₃, С₄ - постоянные интегрирования. Определим из этих уравнений проекции скорости точки на оси координат:

(3.3)

Постоянные интегрирования найдем из начальных условий движения точки: . Подставим начальные условия в уравнения (3.2), (3.3) и получим:

Подставляя эти значения в (3.2) и (3.3), получим окончательно уравнения движения точки и значения проекций скорости точки на оси координат:

(3.4)

(3.5 )

Определим уравнение траектории точки. Уравнения (3.4) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Для того, чтобы получить уравнение траектории точки в координатной форме, исключим t из этих уравнений, получим . Траекторией точки является парабола, вершина которой находится в начале координат. Точка движется по правой ветви параболы и при t₁=0,25 c, ее координаты равны: x₁ = 1,6м_; у₁= 1,33м.

Дата добавления: 2015-11-13